ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 544: Площадь прямоугольника

План решения.

Для доказательства равенства площадей прямоугольника ABCD и треугольника ADE воспользуемся методом разбиения фигур на части. Обозначим высоту треугольника ADE, опущенную из вершины E на прямую AD, через h. Так как BC∥AD, то расстояние между параллельными прямыми AD и BC равно высоте прямоугольника AB, обозначим её за H. Тогда площадь прямоугольника равна S_ABCD=AD·H. Площадь треугольника равна S_ADE=1/2AD·h. Нам нужно доказать, что h=2H, или, что эквивалентно, выразить площади через отрезки на прямой BC.

Согласно указанию, проведём перпендикуляр EF к прямой BC, где F — точка на прямой BC. Поскольку AD∥BC, а AB⊥BC, то ABFE и DCFE (если продолжить стороны) образуют прямоугольные проекции. Рассмотрим треугольники ABM и EFM.

Вычисление и доказательство.

1. Доказательство равенства △ABM=△EFM.

• По условию точка M лежит на стороне AE и является серединой отрезка AE, то есть AM=ME.
• Углы ∠AMB и ∠EMF вертикальные, следовательно, ∠AMB=∠EMF.
• Так как AB⊥BC (свойство прямоугольника) и EF⊥BC (по построению), то AB∥EF. Следовательно, накрест лежащие углы при секущей AE равны: ∠BAM=∠FEM.
• По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам): △ABM=△EFM.
• Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AB=EF и BM=MF.

2. Аналогичное доказательство для другой стороны.

Рассмотрим треугольники DCN и EFN:

• CD=AB (противолежащие стороны прямоугольника).
• Мы уже установили, что EF=AB, значит, CD=EF.
• ∠DCN=∠EFN=90^° (так как CD⊥BC и EF⊥BC).
• Углы ∠DNC и ∠ENF вертикальные, поэтому ∠DNC=∠ENF.
• По первому признаку равенства прямоугольных треугольников (по острым углам и гипотенузе... нет, здесь удобнее по катету и острому углу или просто заметить симметрию). Давайте строго: в △DCN и △EFN: ∠CND=∠FNE (вертикальные), ∠NCD=∠NFE=90^°, сторона CD=EF. Значит, △DCN=△EFN по катету и острому углу.
• Отсюда следует CN=NF.

3. Связь высот и оснований.

Пусть высота треугольника ADE относительно основания AD равна h_E. Эта высота складывается из расстояния от E до BC (то есть EF) и расстояния от BC до AD (то есть высоты прямоугольника AB).

Итак, h_E=EF+AB.

Так как мы доказали, что EF=AB, то h_E=AB+AB=2AB.

Обозначим AB=H (высота прямоугольника). Тогда высота треугольника ADE равна 2H.

4. Расчёт площадей.

Площадь прямоугольника:

Площадь треугольника ADE:

Проверка.

Мы получили, что S_ABCD=AD·H и S_ADE=AD·H. Выражения идентичны. Логика опиралась на свойства вертикальных углов, параллельности прямых и признак равенства треугольников. Точка M — середина AE была ключевым условием для получения равенства AB=EF. Если бы M не была серединой, то EF не равнялось бы AB, и высоты были бы разными. Условие выполнено полностью.