ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 541: Площадь прямоугольника

План решения:

Для выполнения задания возьмём два абсолютно одинаковых (равных) прямоугольных треугольника. Обозначим катеты каждого треугольника как a и b, а гипотенузу как c. Площадь одного такого треугольника равна половине произведения его катетов: S_△=1/2ab.

Наша задача — составить из этих двух треугольников три разные фигуры и определить их площади. Поскольку каждая фигура состоит ровно из двух таких же треугольников, логично предположить, что их площади будут связаны с суммой площадей исходных частей.

Вычисление и построение фигур:

1. а) Равнобедренный треугольник. Сложим два треугольника так, чтобы они совпали своими гипотенузами c. При этом прямые углы окажутся снаружи, а катеты a и b образуют стороны нового большого треугольника. Если мы приложим один треугольник к другому по гипотенузе, развернув один из них на 180 градусов относительно середины гипотенузы, то получим равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны равны сумме катетов или другим комбинациям в зависимости от способа стыковки, но чаще всего под этим подразумевается склейка по равным сторонам. Однако стандартный способ получить равнобедренный треугольник из двух равных прямоугольных — это сложить их вместе по одному из катетов, например, по катету a. Тогда общая высота будет 2b (если складывать по основанию a) или основание станет 2a (если складывать по высоте b). В любом случае, площадь полученной фигуры равна сумме площадей двух исходных треугольников: S_a=S_△+S_△=1/2ab+1/2ab=ab.
2. б) Прямоугольник. Сложим два треугольника по их гипотенузам так, чтобы прямые углы оказались в противоположных вершинах. Или проще: совместим их по катету a, повернув один треугольник так, чтобы катет b продолжался. Получится прямоугольник со сторонами a и b. Его площадь вычисляется по формуле: S_b=a·b. Заметим, что это значение точно такое же, как и в пункте а).
3. в) Параллелограмм, отличный от прямоугольника. Чтобы получить параллелограмм, который не является прямоугольником, нужно сложить треугольники по одной из равных сторон (например, по катету a), но не так, чтобы образовался прямой угол между соседними сторонами. Например, можно совместить гипотенузы, но сместить один треугольник относительно другого, либо совместить катеты b, оставив угол между сторонами a острым или тупым. Любая такая фигура, составленная из двух равных треугольников без перекрытий и зазоров, сохраняет свою площадь равной сумме площадей этих треугольников. S_c=1/2ab+1/2ab=ab.

Проверка и вывод:

Мы видим, что во всех трёх случаях (a, b и v) итоговая площадь равна произведению катетов исходного прямоугольного треугольника ab. Это подтверждает фундаментальное свойство площади: если фигура разбита на части, то её площадь равна сумме площадей этих частей. Так как все три фигуры собраны из одних и тех же двух равных треугольников, их площади обязательно должны быть равны между собой, независимо от формы получившейся фигуры.