7–9 классы Площадь прямоугольника § 56. Площадь прямоугольника

ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 543: Площадь прямоугольника

Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

Алексей Широков, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 542 544 →

Условие

Начертите параллелограмм ABCD и отметьте точку M, симметричную точке D относительно точки C. Докажите, что S_ABCD=S_AMD.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения.

Для доказательства равенства площадей параллелограмма ABCD и треугольника AMD воспользуемся методом вычитания или сложения площадей. Согласно указанию, введем точку пересечения O отрезков AM и BC. Нам нужно доказать, что площадь параллелограмма равна площади треугольника через равенство некоторых вспомогательных фигур. Рассмотрим треугольники ABO и MCO, чтобы найти связь между частями этих фигур.

Вычисление и доказательство.

1. Так как точка M симметрична точке D относительно точки C, то C является серединой отрезка DM. Следовательно, DC=CM.

2. В параллелограмме ABCD противоположные стороны равны и параллельны: AB=DC и AB∥DC. Поскольку D,C,M лежат на одной прямой (так как M лежит на продолжении DC за точку C), то AB∥CM.

3. Рассмотрим треугольники ABO и MCO:

∠ABO=∠MCO как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CM и секущей BC;
∠BAO=∠CMO как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CM и секущей AM;
AB=CM, так как AB=DC (свойство параллелограмма) и DC=CM (по условию симметрии).

По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам) получаем: △ABO=△MCO.

4. Из равенства треугольников следует равенство их площадей: S_ABO=S_MCO.

5. Теперь выразим площади исходных фигур через части:

Площадь параллелограмма ABCD можно представить как сумму площадей четырехугольника AOCD и треугольника ABO: S_ABCD=S_AOCD+S_ABO

Площадь треугольника AMD состоит из площади четырехугольника AOCD и площади треугольника MCO: S_AMD=S_AOCD+S_MCO

6. Так как мы доказали, что S_ABO=S_MCO, то правые части обоих уравнений равны. Следовательно, левые части также равны:

S_ABCD=S_AMD

Ответ

Доказано: S_ABCD=S_AMD.

Использовано указанное в решении построение с точкой O. Ключевой момент — замена треугольника ABO на равновеликий треугольник MCO при переходе от площади параллелограмма к площади треугольника AMD.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 543 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 543?

Краткий ответ: Доказано: S_ABCD = S_AMD.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 56. Площадь прямоугольника.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.