ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 536: Прямоугольник и квадрат

План решения.

Для доказательства этого утверждения удобно использовать метод векторов или координат. Пусть треугольник ABC имеет вершину A, из которой выходят две стороны AB и AC. На этих сторонах вне треугольника построены квадраты ABDE и ACFG. Нам нужно рассмотреть отрезок, соединяющий концы сторон квадратов, выходящих из вершины A. В квадрате на стороне AB это точка E (или D, в зависимости от ориентации, но обычно берут противоположную к B через диагональ или смежную вершину). Уточним формулировку: "концы сторон квадратов, выходящих из одной вершины". Из вершины A выходят стороны AB и AC. В квадрате на AB из A выходит сторона AE (перпендикулярная AB). В квадрате на AC из A выходит сторона AF (перпендикулярная AC). Тогда рассматриваемый отрезок — это EF. Медиана, выходящая из A, пусть будет AM, где M — середина BC. Нужно доказать, что EF=2AM.

Вычисление с помощью векторов.

Введем обозначения для векторов: b=AB, c=AC.
Так как ABDE — квадрат, построенный вне треугольника, то вектор AE получается поворотом вектора AB на 90^° против часовой стрелки (предположим стандартную ориентацию для определенности, знак не важен для длины). Обозначим оператор поворота на 90^° как R. Тогда AE=R(b).
Аналогично, для квадрата ACFG, вектор AF получается поворотом вектора AC на 90^°. Однако, чтобы квадраты были построены вне треугольника, направления поворотов должны быть согласованы относительно внутренней области. Если мы обходим треугольник ABC против часовой стрелки, то внешние квадраты требуют поворота сторон наружу.
Более простой подход: используем свойства скалярного произведения и длин.
Рассмотрим вектор EF=AF-AE.
Медиана AM=1/2(AB+AC)=1/2(b+c).
Нам нужно сравнить длины |EF| и 2|AM|=|b+c|.
Заметим, что если повернуть весь треугольник ABC вокруг точки A на 90^°, то вектор AB перейдет в направление AE (с точностью до знака), а AC — в направление AF.
Давайте воспользуемся более надежным методом: дополнением до параллелограмма или теоремой косинусов.
Пусть ∠BAC=α.
В треугольнике AEF: AE=AB=c_side (обозначим длину AB как c, а AC как b, чтобы не путать с векторами). То есть AE=c, AF=b.
Угол ∠EAF? Сторона AE перпендикулярна AB, сторона AF перпендикулярна AC.
Если квадраты построены вне треугольника, то угол между AE и AF равен 360^°-90^°-90^°-α=180^°-α (если смотреть на углы вокруг вершины A) или просто α (если повороты разнонаправлены). Проверим геометрию:
Луч AB и луч AC образуют угол α. Луч AE получен поворотом AB на 90^° наружу. Луч AF получен поворотом AC на 90^° наружу. Тогда угол между AE и AF также равен α (так как оба луча повернуты на один и тот же угол в одну сторону относительно исходных, либо сумма углов дает 360-90-90-α?).
Стандартное свойство: угол между внешними сторонами квадратов, прилежащими к вершине угла треугольника, равен 180^°-α или α?
Рассмотрим случай α=90^°. Квадраты стоят на катетах. AE⊥AB, AF⊥AC. Так как AB⊥AC, то AE лежит на прямой AC, а AF на прямой AB. Отрезок EF соединяет точки на продолжениях катетов. Треугольник AEF прямоугольный с катетами b и c. Гипотенуза EF=b²+c². Медиана к гипотенузе BC равна a/2=b²+c²/2. Тогда 2AM=b²+c². Совпадает!
Теперь общий случай. По теореме косинусов в △AEF:
EF²=AE²+AF²-2AE·AFcos(∠EAF)
Известно, что ∠EAF=180^°-α (так как сумма углов вокруг точки A внутри четырехугольника, образованного центрами квадратов и т.д., или проще: поворот векторов).
Тогда cos(180^°-α)=-cosα.
EF²=c²+b²-2bc(-cosα)=b²+c²+2bccosα
Теперь найдем медиану AM в △ABC. По формуле длины медианы:
AM²=2b²+2c²-a²/4
По теореме косинусов для △ABC: a²=b²+c²-2bccosα.
Подставим a² в формулу медианы:
AM²=2b²+2c²-(b²+c²-2bccosα)/4=b²+c²+2bccosα/4
Отсюда следует, что:
4AM²=b²+c²+2bccosα
Сравнивая выражения для EF² и 4AM², видим, что они идентичны:
EF²=4AM²impliesEF=2AM

Проверка и вывод.

Мы получили равенство EF=2AM алгебраически, опираясь на теорему косинусов и формулу медианы. Логика корректна для любого треугольника. Геометрическая интерпретация: треугольник AEF можно получить из треугольника, двойного к медиане, путем вращения или симметрии, что подтверждает связь длин. Таким образом, утверждение доказано.