ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 533: Прямоугольник и квадрат

План решения.

Для доказательства равенства отрезков BH=HM=MC проанализируем углы в треугольниках, образованных данной конфигурацией. Сначала найдем величину угла ∠MCH, используя свойства диагонали квадрата. Затем рассмотрим прямоугольный треугольник HMC и определим его острые углы. Наконец, перейдем к треугольнику BHM, чтобы найти его углы и доказать, что он равнобедренный.

Вычисление и доказательство.

1. Рассмотрим квадрат ABCD. Диагональ AC является биссектрисой угла BCD, поэтому ∠ACB=90^°/2=45^°. Так как точка M лежит на диагонали AC, а точка H — на стороне BC, то угол ∠MCH совпадает с углом ∠ACB. Следовательно, ∠MCH=45^°.

2. По условию прямая MH перпендикулярна диагонали AC, значит, ∠HMC=90^°. Рассмотрим треугольник HMC. Сумма углов треугольника равна 180^°, поэтому найдем третий угол: ∠MHC=180^°-∠HMC-∠MCH=180^°-90^°-45^°=45^°. Поскольку в треугольнике HMC два угла равны (∠MCH=∠MHC=45^°), этот треугольник является равнобедренным. Из этого следует равенство боковых сторон: HM=MC.

3. Теперь рассмотрим треугольник BHM. Нам нужно доказать, что BH=HM. Для этого найдем углы при основании BM или воспользуемся свойством внешнего угла. Заметим, что угол ∠BHM смежный с углом ∠MHC? Нет, точки B,H,C лежат на одной прямой, но H находится между B и C (так как AM=AB<AC, точка M ближе к A, чем центр квадрата, а проекция M на BC попадает внутрь отрезка). Угол ∠BHM и угол ∠MHC составляют развернутый угол только если M лежит на прямой, перпендикулярной BC, что неверно. Давайте посмотрим на углы иначе. Рассмотрим треугольник ABM. По условию AM=AB, значит, треугольник ABM — равнобедренный с основанием BM. Угол при вершине A равен ∠BAM=∠BAC=45^° (так как AC — диагональ). Тогда углы при основании равны: ∠ABM=∠AMB=180^°-45^°/2=67.5^°.

Теперь найдем угол ∠MBH. Угол ∠ABC=90^°. ∠MBH=∠ABC-∠ABM=90^°-67.5^°=22.5^°.

Найдем угол ∠BMH. Мы знаем, что ∠AMB=67.5^°. Точки A,M,C лежат на одной прямой. Угол ∠BMC смежный с ∠AMB: ∠BMC=180^°-67.5^°=112.5^°. Но нам нужен угол внутри треугольника BHM. Посмотрим на угол ∠HMB. Мы знаем, что ∠HMC=90^°. Значит, луч MH перпендикулярен AC. Луч MB образует с AC угол ∠AMB=67.5^° со стороны A. Со стороны C угол ∠BMC=112.5^°. Угол ∠HMB можно найти как разность ∠BMC-∠HMC? Нет, H и B находятся по разные стороны от прямой AC? Нет, B и H находятся в одной полуплоскости относительно AC (внутри квадрата). Давайте проще. В прямоугольном треугольнике HMC мы нашли HM=MC. Найдем длину BH. Пусть сторона квадрата a. Тогда AB=a,BC=a. Диагональ AC=a2. По условию AM=AB=a. Тогда MC=AC-AM=a2-a=a(2-1). Так как HM=MC, то HM=a(2-1). Теперь вычислим BH. В прямоугольном треугольнике HMC гипотенуза HC=HM/sin45^°=HM·2=a(2-1)2=a(2-2). Отрезок BH=BC-HC=a-a(2-2)=a(1-2+2)=a(2-1). Сравниваем полученные значения: BH=a(2-1), HM=a(2-1), MC=a(2-1). Таким образом, BH=HM=MC.

Проверка.

Мы использовали алгебраический метод через длины сторон, который подтверждает геометрические рассуждения о равнобедренных треугольниках. Геометрически: так как BH=HM, треугольник BHM равнобедренный. Проверим углы. Если BH=HM, то ∠HBM=∠HMB. Мы нашли ∠HBM=22.5^°. Найдем ∠HMB. Угол ∠AMB=67.5^°. Прямая MH⊥AC, значит угол между MH и MA равен 90^°. Угол ∠HMB=∠HMA-∠BMA? Нет, луч MB лежит внутри угла ∠HMA? Угол ∠HMA=90^°. Угол ∠BMA=67.5^°. Тогда ∠HMB=90^°-67.5^°=22.5^°. Получаем ∠HBM=∠HMB=22.5^°, следовательно, BH=HM. Все условия выполнены.