ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 588: Формула Герона

В данной задаче требуется найти боковую сторону и площадь равнобедренного треугольника для трёх различных случаев. Для решения будем использовать свойства равнобедренного треугольника (высота к основанию является медианой и биссектрисой), теорему Пифагора и формулы площади.

Пункт а)

Дано: основание a=12 см, высота к основанию h=8 см.

1. Так как треугольник равнобедренный, высота, проведённая к основанию, делит его пополам. Следовательно, половина основания равна 12/2=6 см.
2. Боковая сторона b является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 6 см и 8 см. По теореме Пифагора: b=6²+8²=36+64=100=10 см .
3. Площадь треугольника вычисляется по формуле: S=1/2ah=1/2·12·8=48 см² .

Пункт б)

Дано: основание a=18 см, угол при вершине против основания α=120^°.

1. Высота, опущенная на основание, делит угол при вершине пополам. Значит, в полученном прямоугольном треугольнике острый угол равен 120^°/2=60^°.
2. Катет, лежащий напротив угла 60^°, равен половине основания: 18/2=9 см. Этот катет также является половиной основания в исходном треугольнике? Нет, это катет в прямоугольном треугольнике, образованным высотой. Пусть H — точка пересечения высоты с основанием. В △ABH (где AB — боковая сторона) угол A=60^°, катет BH=9 см (половина основания). Тогда боковая сторона c=AB: sin(60^°)=BH/AB⇒AB=9/sin(60^°)=9/3/2=18/3=63 см .
3. Найдём высоту AH. Из того же треугольника: AH=BH/tan(60^°)=9/3=33 см .
4. Площадь треугольника: S=1/2ah=1/2·18·33=273 см² .

Пункт в)

Дано: треугольник прямоугольный и равнобедренный (так как в условии сказано «равнобедренного треугольника», а пункт говорит «треугольник прямоугольный», обычно подразумевается равнобедренный прямоугольный, либо нужно проверить контекст. Если просто прямоугольный, то данных мало. Но тема §62 Герон, и предыдущие пункты про равнобедренные. Скорее всего, речь о равнобедренном прямоугольном треугольнике, где гипотенуза является основанием. Или же дано только высота к гипотенузе. В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота к гипотенузе равна половине гипотенузы).

1. Пусть треугольник ABC равнобедренный (AC=BC) и прямоугольный (∠C=90^°). Гипотенуза AB является основанием. Высота CH проведена к гипотенузе.
2. Свойство равнобедренного прямоугольного треугольника: высота к гипотенузе делит его на два таких же равнобедренных прямоугольных треугольника. Поэтому AH=HB=CH=7 см.
3. Гипотенуза (основание) AB=AH+HB=7+7=14 см.
4. Боковые стороны (катеты) AC и BC равны. Рассмотрим △AHC: он прямоугольный с катетами 7 и 7. По теореме Пифагора: AC=7²+7²=49+49=98=72 см .
5. Площадь треугольника: S=1/2AB·CH=1/2·14·7=49 см² .