ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 595: Формула Герона

План решения:

• Найдём длины смежных сторон параллелограмма, используя данные о периметре и разности сторон.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю-высотой, стороной основания и второй стороной параллелограмма.
• Применим теорему Пифагора для вычисления длины диагонали.

Вычисление:

Пусть a и b — стороны параллелограмма. По условию периметр равен 50 см, значит: 2(a+b)=50impliesa+b=25 Также известно, что разность смежных сторон равна 1 см. Пусть a>b, тогда: a-b=1 Решим систему уравнений: {a+b=25a-b=1 Сложив уравнения, получаем 2a=26, откуда a=13 см. Подставив значение a в первое уравнение: 13+b=25, откуда b=12 см.

По условию одна из диагоналей является высотой. Это возможно только в том случае, если эта диагональ проведена к большей стороне (или к меньшей, но тогда она не может быть внутри фигуры как высота к другой стороне без нарушения свойств выпуклого многоугольника в стандартной постановке задачи школьного курса). Рассмотрим треугольник, образованный этой диагональю h, стороной b=12 см и проекцией на сторону a. Однако более простой подход: диагональ, являющаяся высотой, делит параллелограмм на два прямоугольных треугольника. Гипотенузой такого треугольника будет служить сторона параллелограмма, не лежащая на основании высоты, а катетами — сама высота (диагональ) и часть основания или другая сторона.

Давайте уточним геометрию. Если диагональ d является высотой, опущенной из вершины на противоположную сторону, то она перпендикулярна этой стороне. В параллелограмме ABCD пусть AC — диагональ, которая является высотой к стороне BC (или AD). Тогда треугольник ABC — прямоугольный с прямым углом при вершине C? Нет, высота опускается из вершины на прямую, содержащую сторону. Если диагональ BD является высотой к стороне AD, то угол ADB прямой. Тогда в прямоугольном треугольнике ABD гипотенуза — это сторона AB (равная CD), а катеты — это сторона AD и диагональ BD.

Проверим варианты. Стороны равны 13 и 12. Вариант 1: Диагональ является высотой к стороне 13. Тогда в прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 12, а один катет равен 13. Это невозможно, так как катет не может быть больше гипотенузы. Вариант 2: Диагональ является высотой к стороне 12. Тогда в прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 13, а один катет равен 12. Второй катет (диагональ) найдём по теореме Пифагора: d²+12²=13² d²=13²-12² d²=169-144 d²=25 d=5 см

Проверка:

Если диагональ равна 5 см, а стороны 12 и 13 см, то треугольник со сторонами 5, 12, 13 является прямоугольным (5²+12²=25+144=169=13²). Значит, диагональ действительно может быть высотой, опущенной на сторону длиной 12 см, если соседняя сторона (гипотенуза) равна 13 см. Периметр (12+13)·2=50 см, разность 13-12=1 см. Все условия выполнены.