ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 597: Формула Герона

План решения.

Чтобы найти меньшую высоту треугольника, нужно вспомнить связь между площадью и сторонами. Площадь S можно выразить через любую сторону a и опущенную на неё высоту h_a: S=1/2ah_a Отсюда высота равна h_a=2S/a. Поскольку числитель (2S) для всех высот одного треугольника одинаков, то чем больше знаменатель (сторона), тем меньше значение дроби. Следовательно, меньшая высота соответствует большей стороне .

Для нахождения площади по трём сторонам воспользуемся формулой Герона: S=p(p-a)(p-b)(p-c) где p — полупериметр треугольника.

Вычисление для пункта а).

Стороны треугольника: a=24 см, b=25 см, c=7 см.

1. Найдём полупериметр p: p=24+25+7/2=56/2=28 см
2. Вычислим площадь по формуле Герона: S=28(28-24)(28-25)(28-7)=28·4·3·21 Разложим множители на простые числа или сгруппируем удобно: 28·4·3·21=(4·7)·4·3·(3·7)=4²·7²·3² S=4²·7²·3²=4·7·3=84 см²
3. Определим наибольшую сторону. Это сторона b=25 см. Именно к ней проведена наименьшая высота h_b. h_b=2S/b=2·84/25=168/25=6,72 см

Вычисление для пункта б).

Стороны треугольника: a=15 см, b=17 см, c=8 см.

1. Найдём полупериметр p: p=15+17+8/2=40/2=20 см
2. Вычислим площадь по формуле Герона: S=20(20-15)(20-17)(20-8)=20·5·3·12 Сгруппируем множители под корнем: 20·5·3·12=(4·5)·5·3·(4·3)=4²·5²·3² S=4²·5²·3²=4·5·3=60 см²
3. Определим наибольшую сторону. Это сторона b=17 см. К ней проведена наименьшая высота h_b. h_b=2S/b=2·60/17=120/17≈7,06 см В виде неправильной дроби ответ будет точнее: 120/17 см.

Проверка.

В пункте а) заметим, что стороны 7,24,25 образуют прямоугольный треугольник, так как 7²+24²=49+576=625=25². В прямоугольном треугольнике катеты являются высотами, проведёнными к другим катетам. Высота к гипотенузе равна произведению катетов, делённому на гипотенузу: h=7·24/25=168/25=6,72. Результат совпал с расчётом по Герону.

В пункте б) проверка через координаты или другие методы сложна, но арифметика извлечения корня верна: 3600=60. Деление 120/17 не сокращается. Ответы корректны.