ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 599: Формула Герона

План решения:

Для прямоугольного треугольника с катетами a, b и гипотенузой c радиус вписанной окружности вычисляется по формуле: r=a+b-c/2 Отсюда можно выразить сумму катетов: a+b=2r+c Периметр треугольника равен сумме всех сторон: P=a+b+c Подставив выражение для суммы катетов, получаем удобную формулу периметра через радиус и гипотенузу: P=(2r+c)+c=2r+2c

Решение пункта а)

Дано: гипотенуза c=26 см, радиус вписанной окружности r=4 см. Используем выведенную выше формулу периметра: P=2r+2c Подставляем числовые значения: P=2·4+2·26=8+52=60 см. Таким образом, периметр треугольника равен 60 см.

Решение пункта б)

В этом пункте нам не даны ни длина гипотенузы напрямую, ни радиус. Однако известно, что точка касания делит гипотенузу на отрезки длиной 5 см и 12 см. Свойство касательных, проведённых из одной точки к окружности, гласит, что отрезки касательных равны. Пусть вершины прямого угла — C, а острые углы — A и B. Точка касания на гипотенузе AB делит её на AD=5 и DB=12 (или наоборот). Тогда длина гипотенузы равна сумме этих отрезков: c=5+12=17 см. Катеты треугольника состоят из отрезков касательных и радиуса, проведённого к точке касания на катете. В прямоугольном треугольнике расстояние от вершины прямого угла до точек касания на катетах равно радиусу r. Поэтому катеты равны: a=r+5 b=r+12 (Здесь мы предполагаем, что отрезок 5 относится к одному катету, а 12 — к другому, но порядок не важен для суммы). Нам нужно найти r. Воспользуемся теоремой Пифагора или свойством площади. Проще всего использовать формулу радиуса, которую мы выводили в плане: r=a+b-c/2. Но у нас есть неизвестное r в самих катетах. Подставим выражения для a и b в эту формулу: r=(r+5)+(r+12)-17/2 r=2r+17-17/2 r=2r/2=r Это тождество, оно верно всегда, но не позволяет найти r напрямую таким способом. Нужно другое соотношение. Вернёмся к определению катетов. Если точка касания делит гипотенузу на 5 и 12, то это означает, что проекции катетов на гипотенузу связаны с этими числами? Нет, это просто длины отрезков касательных. Давайте найдём катеты через площадь или другие свойства. Известно, что для прямоугольного треугольника S=pr, где p — полупериметр. Также S=ab/2. Есть более простой путь. Мы знаем, что a=r+x и b=r+y, где x и y — отрезки гипотенузы (x=5,y=12). По теореме Пифагора: a²+b²=c². (r+5)²+(r+12)²=17² Раскроем скобки: r²+10r+25+r²+24r+144=289 2r²+34r+169=289 2r²+34r-120=0 Разделим на 2: r²+17r-60=0 Решим квадратное уравнение. Дискриминант: D=17²-4·1·(-60)=289+240=529 D=23 Корни: r₁=-17+23/2=6/2=3 r₂=-17-23/2<0 (не подходит) Итак, радиус вписанной окружности r=3 см. Теперь найдём периметр. Мы уже знаем формулу P=2r+2c. P=2·3+2·17=6+34=40 см. Проверка: катеты a=3+5=8, b=3+12=15. Гипотенуза c=17. 8²+15²=64+225=289=17². Всё верно. Периметр P=8+15+17=40 см.