ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 647: Отношение площадей подобных треугольников
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Никита Ершов, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Периметр треугольника CDE равен 55 см. В этот треугольник вписан ромб DMFN так, что вершины M, F и N лежат соответственно на сторонах CD, CE и DE. Найдите стороны CD и DE, если CF=8 см, EF=12 см.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Так как DMFN — ромб, то его противоположные стороны параллельны: MF∥DE и NF∥CD. Это означает, что треугольники CMF и CDE подобны (по двум углам), а также треугольники NEF и DEC подобны. Используя свойства подобных треугольников, выразим стороны CD и DE через периметр ромба и данные отрезки на стороне CE. Затем, используя периметр большого треугольника CDE, найдем длину стороны CE и искомые стороны.
Вычисление.
1. Обозначим сторону ромба за x. Тогда DM=MF=FN=ND=x. 2. Рассмотрим подобие △CMF∼△CDE. Коэффициент подобия равен отношению соответствующих сторон: k1=CF/CE. Также MF/DE=k1, откуда DE=MF/k1=x·CE/CF. 3. Рассмотрим подобие △NEF∼△DEC. Коэффициент подобия k2=EF/EC. Также NF/DC=k2, откуда CD=NF/k2=x·EC/EF. 4. Заметим, что CE=CF+EF=8+12=20 см. 5. Подставим значения в выражения для сторон: DE=x·20/8=2.5x CD=x·20/12=5/3x 6. Периметр треугольника CDE равен сумме его сторон: PCDE=CD+DE+CE. По условию PCDE=55 см. 55=5/3x+2.5x+20 7. Решим уравнение относительно x: 35=5/3x+5/2x Приведем к общему знаменателю 6: 35=10x+15x/6=25x/6 25x=35·6=210 x=210/25=8.4 см 8. Теперь найдем искомые стороны CD и DE: CD=5/3·8.4=5·2.8=14 см DE=2.5·8.4=21 см
Проверка.
Сумма сторон треугольника CDE: 14+21+20=55 см. Это совпадает с данным периметром. Проверим подобие: если CD=14, то DN=x=8.4, значит NC=14-8.4=5.6. Отношение NC/CD=5.6/14=0.4. Отношение EF/CE=12/20=0.6. Здесь нужно быть внимательнее с ориентацией вершин при подобии △NEF∼△DEC. В △NEF сторона NF параллельна CD. Треугольник NEF отсекается у вершины E. Подобие △ENF∼△EDC дает EN/ED=EF/EC=NF/DC. EF/EC=12/20=0.6. Значит NF=0.6·DC. Мы нашли NF=x=8.4, тогда DC=8.4/0.6=14. Верно. Аналогично для другой стороны: △FMC∼△DEC (или △CMF∼△CDE). CF/CE=8/20=0.4. MF=0.4·DE. 8.4=0.4·DE⇒DE=21. Верно. Все сходится.
CD=14 см, DE=21 см
Задача решается через использование свойств параллельных прямых внутри ромба, вписанного в треугольник. Ключевой момент — понимание того, что стороны ромба параллельны сторонам треугольника, что порождает два пары подобных треугольников, «отсекаемых» вершинами исходного треугольника. Через коэффициент подобия выражаются стороны большого треугольника через сторону ромба.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 647 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 647?
Краткий ответ: CD = 14 см, DE = 21 см.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 65. Отношение площадей подобных треугольников.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.