ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 650: Отношение площадей подобных треугольников

План доказательства.

Пусть даны два подобных треугольника △ABC∼△A₁B₁C₁ с коэффициентом подобия k. Нам нужно доказать, что отношение сходственных сторон (например, AB и A₁B₁) равно отношению высот, проведённых к этим сторонам (CH и C₁H₁).

Ход решения.

1. По определению подобных треугольников, их соответствующие углы равны. Следовательно, ∠A=∠A₁. 2. Проведём высоты CH в треугольнике ABC и C₁H₁ в треугольнике A₁B₁C₁. По построению эти высоты перпендикулярны основаниям, то есть ∠CHA=90^° и ∠C₁H₁A₁=90^°. 3. Рассмотрим прямоугольные треугольники △CHA и △C₁H₁A₁. В них:

• ∠A=∠A₁ (так как это соответствующие углы исходных подобных треугольников);
• ∠CHA=∠C₁H₁A₁=90^°.

4. Значит, △CHA∼△C₁H₁A₁ по двум углам. 5. Из подобия этих малых треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон: CH/C₁H₁=AC/A₁C₁ 6. Но так как исходные треугольники △ABC и △A₁B₁C₁ подобны с коэффициентом k, то отношение любых двух соответствующих сторон равно k. То есть: AC/A₁C₁=k и  AB/A₁B₁=k 7. Подставим значение k в полученную пропорцию для высот: CH/C₁H₁=k 8. Таким образом, мы получили, что отношение высот CH/C₁H₁ равно отношению сходственных сторон AB/A₁B₁ (или любой другой пары), так как оба отношения равны одному и тому же коэффициенту подобия k.

Проверка и вывод.

Мы использовали только свойства подобия треугольников и определение высоты. Логическая цепочка не содержит противоречий: если большие треугольники подобны, то и прямоугольные треугольники, образованные высотой и стороной, также подобны. Следовательно, все линейные элементы подобных фигур (стороны, медианы, биссектрисы, высоты) относятся друг к другу как коэффициент подобия. Утверждение доказано.