ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 654: Первый признак равенства треугольников
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Артём Савельев, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Докажите, что отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План доказательства.
Чтобы доказать утверждение, нам нужно выразить периметры двух подобных треугольников через их стороны и коэффициент подобия. Пусть даны два треугольника △ABC и △A1B1C1, которые подобны с коэффициентом k. Это означает, что соответствующие углы равны, а отношения соответствующих сторон равны k. Мы запишем формулу для периметра каждого треугольника как сумму его трёх сторон, а затем воспользуемся свойством пропорциональности сторон.
Ход решения.
По определению подобия треугольников, если △ABC∼△A1B1C1 с коэффициентом подобия k, то выполняются равенства:
A1B1/AB=B1C1/BC=C1A1/CA=kИз этих равенств можно выразить стороны второго треугольника через стороны первого:
A1B1=k·AB, B1C1=k·BC, C1A1=k·CAПериметр треугольника ABC обозначим P, а периметр треугольника A1B1C1 — P1. По определению периметра:
P=AB+BC+CA P1=A1B1+B1C1+C1A1Подставим выраженные ранее стороны в формулу для P1:
P1=k·AB+k·BC+k·CAВынесем общий множитель k за скобки:
P1=k·(AB+BC+CA)Так как выражение в скобках равно периметру P, получаем:
P1=k·PТеперь найдём отношение периметров:
P1/P=k·P/P=kПроверка и вывод.
Мы получили, что отношение периметра большего треугольника к периметру меньшего (или наоборот, в зависимости от того, какой коэффициент мы рассматриваем как основной) равно самому коэффициенту подобия k. Если бы мы рассматривали обратное отношение P/P1, оно было бы равно 1/k, что также соответствует коэффициенту подобия при переходе от A1B1C1 к ABC. Таким образом, доказано, что отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
Доказательство: пусть △ABC∼△A1B1C1 с коэфф. k. Тогда A1B1=kAB,B1C1=kBC,C1A1=kCA. Периметр P1=k(AB+BC+CA)=kP. Следовательно, P1/P=k.
В решении использовано стандартное определение подобия и алгебраические преобразования. Важно показать шаг вынесения общего множителя.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 654 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 654?
Краткий ответ: Доказательство: пусть ABC A_1B_1C_1 с коэфф. k. Тогда A_1B_1=kAB, B_1C_1=kBC, C_1A_1=kCA. Периметр P_1 = k(AB+BC+CA) = kP. Следовательно, P_1P = k.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 2. Первый признак равенства треугольников.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.