ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 659: Третий признак подобия треугольников

План решения.

В трапеции ABCD с основаниями AB∥CD диагонали пересекаются в точке O. Из параллельности оснований следует равенство накрест лежащих углов: ∠OAB=∠OCD и ∠OBA=∠ODC. Следовательно, треугольники △AOB и △COD подобны по двум углам (первый признак). Из подобия следует пропорциональность соответствующих сторон:

AB/CD=AO/CO=BO/DO

а) Найдите AB, если OB=4 см, OD=10 см, DC=25 см.

Используем отношение подобия для сторон AB и CD, а также OB и OD:

AB/CD=OB/OD

Подставим известные значения (CD=25, OB=4, OD=10):

AB/25=4/10 AB=25·4/10=25·0.4=10 см .

б) Найдите отношения AO/OC и BO/OD, если AB=a, DC=b.

Так как △AOB∼△COD, то отношение любых двух соответствующих линейных элементов равно отношению оснований. Сторона AB соответствует стороне CD, сторона AO — стороне CO, сторона BO — стороне DO.

Следовательно:

AO/OC=AB/CD=a/b BO/OD=AB/CD=a/b

Ответ: оба отношения равны a/b.

в) Найдите AO, если OC/OD=AB=9,6 дм, DC=24 см, AC=15 см.

Здесь условие содержит опечатку или нестандартную запись «OC/OD=AB». Обычно в таких задачах подразумевается, что дано отношение отрезков диагоналей или стороны. Давайте проанализируем данные внимательно.

Дано: AB=9,6 дм. Переведем в сантиметры: 9,6 дм =96 см. DC=24 см. AC=15 см. Фраза «OC/OD = ...» выглядит странно, так как OC и OD лежат на разных диагоналях. Однако, исходя из контекста подобных задач, скорее всего, имелось в виду отношение AO/OC или просто дано значение AB. Но в условии написано: «если OC/OD=AB=9,6 дм» . Это математически бессмысленно (отношение длин не может быть равно длине).

Вероятнее всего, в оригинальном источнике было записано: «Найдите AO, если AB=9,6 дм, DC=24 см, AC=15 см» , а часть «OC/OD =» является артефактом сканирования или ошибкой переписывания условия пункта б), перенесенным сюда. Или же это означает, что отношение AO/OC равно чему-то другому? Нет, давайте посмотрим на стандартную постановку задачи этого типа.

Если мы игнорируем странное «OC/OD =», то у нас есть все данные для нахождения AO через подобие:

1. Коэффициент подобия k=AB/CD=96/24=4. 2. Треугольники △AOB∼△COD. 3. Соответствующие стороны AO и CO относятся как 4:1, то есть AO=4CO. 4. Диагональ AC=AO+CO=15 см. 5. Подставим AO: 4CO+CO=15⇒5CO=15⇒CO=3 см. 6. Тогда AO=4·3=12 см.

Проверим, не могло ли «OC/OD» означать что-то другое. Если бы это было отношение AO/OC=…, то оно было бы равно AB/CD=4. В условии написано «OC/OD=AB». Это противоречие единиц измерения. Наиболее логичная интерпретация школьной задачи: даны AB=9,6 дм, DC=24 см, AC=15 см. Найти AO.

Решение при такой интерпретации:

AO/OC=AB/DC=96/24=4 AO=4OC AC=AO+OC=4OC+OC=5OC=15 см OC=3 см AO=12 см