ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 662: Третий признак подобия треугольников
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Кирилл Панов, методист по геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Так как MN∥AC и NP∥AB, то четырёхугольник AMNP является параллелограммом (по определению: противоположные стороны попарно параллельны). Следовательно, его противоположные стороны равны: AM=NP и AP=MN. Чтобы найти длины сторон, воспользуемся признаками подобия треугольников. Треугольник BMN подобен треугольнику BAC по двум углам (∠B — общий, ∠BMN=∠A как соответственные при параллельных прямых). Аналогично, треугольник CNP подобен треугольнику CAB.
Вычисление для пункта а).
Дано: AB=10 см, AC=15 см, PN:MN=2:3. Обозначим коэффициент пропорциональности за k. Тогда PN=2k и MN=3k. Из свойств параллелограмма AMNP: AM=PN=2k и AP=MN=3k. Рассмотрим подобие △BMN∼△BAC. Отношение сходственных сторон равно: BM/BA=MN/AC Заметим, что BM=AB-AM=10-2k. Подставим известные значения: 10-2k/10=3k/15 Упростим правую часть (3k/15=k/5): 10-2k/10=k/5 Умножим обе части на 10: 10-2k=2k 4k=10impliesk=2.5 Теперь найдём стороны параллелограмма: AM=2k=2·2.5=5 см. AP=3k=3·2.5=7.5 см. Следовательно, NP=5 см, MN=7.5 см.
Вычисление для пункта б).
Дано: AM=AP, AB=a, AC=b. Так как AMNP — параллелограмм и соседние стороны равны (AM=AP), то он является ромбом. Пусть сторона ромба равна x. То есть AM=AP=MN=NP=x. Используем подобие △BMN∼△BAC: BM/BA=MN/AC Подставим выражения через x: BM=AB-AM=a-x, MN=x. a-x/a=x/b Решим это уравнение относительно x: b(a-x)=ax ab-bx=ax ab=ax+bx ab=x(a+b) x=ab/a+b Таким образом, все четыре стороны четырёхугольника AMNP равны ab/a+b.
Проверка.
Для пункта а): Стороны 5 и 7.5. Проверим отношение PN:MN=5:7.5=50:75=2:3. Верно. Подобие: BM=10-5=5, BA=10, отношение 1/2. MN=7.5, AC=15, отношение 1/2. Совпадает. Для пункта б): Формула симметрична относительно a и b, что логично для задачи с симметричными условиями (AM=AP). При a=b сторона должна быть a/2, формула даёт a2/2a=a/2. Верно.
а) AM=5 см, AP=7.5 см, MN=7.5 см, NP=5 см
б) AM=AP=MN=NP=ab/a+b
В пункте а) важно правильно выразить отрезок BM через сторону AB и найденную сторону AM. В пункте б) условие AM=AP превращает параллелограмм в ромб, что упрощает запись переменных.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 662 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 662?
Краткий ответ: а) AM = 5 см, AP = 7.5 см, MN = 7.5 см, NP = 5 см; б) AM = AP = MN = NP = aba+b.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 68. Третий признак подобия треугольников.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.