ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 660: Третий признак подобия треугольников

План решения:

Для проверки подобия треугольников по третьему признаку (по двум углам) нам достаточно убедиться, что соответствующие углы двух треугольников равны. Поскольку все рассматриваемые треугольники являются равнобедренными, их свойства позволяют однозначно выразить остальные углы через заданный угол. Мы разберём каждый пункт отдельно: а) с острым углом, б) с тупым углом и в) с прямым углом.

Вычисления и обоснование:

а) Пусть в равнобедренных треугольниках ABC и A₁B₁C₁ равны острые углы при основаниях или при вершинах. В любом равнобедренном треугольнике сумма углов равна 180^°. Если дан равенство одного острого угла, то из свойств равнобедренного треугольника следует, что второй угол при основании также равен первому (если он при основании) или может быть найден через сумму углов. Однако более простой путь — использовать признак подобия по двум углам. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если мы знаем один острый угол, мы можем найти другие. Но важно понять структуру: если два равнобедренных треугольника имеют по одному равному острому углу, то они подобны? Да. Например, если угол при вершине равен β, то углы при основании равны (180^°-β)/2. Если угол при основании равен β, то угол при вершине равен 180^°-2β. В обоих случаях форма треугольника полностью определяется значением этого единственного известного угла. Следовательно, все углы первого треугольника будут соответственно равны всем углам второго треугольника. По второму признаку подобия (по двум углам), такие треугольники подобны.

б) Пусть в равнобедренных треугольниках равны тупые углы. Тупой угол в равнобедренном треугольнике может находиться только при вершине (так как сумма двух острых углов при основании меньше 180^°, а если бы тупой был при основании, то сумма двух тупых превысила бы 180^°, что невозможно). Значит, угол при вершине равен β>90^°. Тогда углы при основании равны (180^°-β)/2. Так как β одинаков для обоих треугольников, то и углы при основании будут одинаковыми. Таким образом, все три угла первого треугольника равны соответствующим трем углам второго треугольника. Треугольники подобны.

в) Пусть в равнобедренных треугольниках равны прямые углы (90^°). Прямой угол в равнобедренном треугольнике может быть только при вершине (так как сумма углов 180^°, и если прямой угол был бы при основании, то второй угол при основании тоже был бы прямым, что дало бы сумму 180^° уже на двух углах, оставив нулевой угол при вершине, что невозможно). Значит, угол при вершине равен 90^°. Углы при основании равны (180^°-90^°)/2=45^°. Оба треугольника оказываются прямоугольными равнобедренными с углами 90^°,45^°,45^°. Все соответствующие углы равны, следовательно, треугольники подобны.

Проверка:

Во всех трёх случаях мы установили, что знание одного угла в равнобедренном треугольнике позволяет однозначно определить величину остальных двух углов. Если этот угол равен у двух разных треугольников, то и остальные углы будут равны между собой. Равенство соответствующих углов является достаточным условием подобия треугольников. Ответы согласуются с геометрическими свойствами равнобедренных фигур.