ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 664: Третий признак подобия треугольников

В данной задаче мы используем свойства параллельных прямых и подобие треугольников. Поскольку BC∥DE, то углы ∠ABC и ∠ADE равны как соответственные при секущей AD, а углы ∠ACB и ∠AED равны как соответственные при секущей AE. Следовательно, треугольники ABC и ADE подобны по первому признаку (два угла). Из подобия следует пропорциональность соответствующих сторон: AB/AD=AC/AE=BC/DE

Рассмотрим пункт а) . Дано: CE=10 см, AD=22 см, BD=8 см. Точки A,B,D лежат на одной стороне угла в таком порядке, поэтому AB=AD-BD=22-8=14 см. Пусть искомая сторона AC=x. Тогда AE=AC+CE=x+10. Составим пропорцию из равенства отношений боковых сторон: AB/AD=AC/AE⇒14/22=x/x+10 Сократим дробь слева: 7/11=x/x+10. Решаем уравнение методом перекрёстного умножения: 7(x+10)=11x 7x+70=11x 4x=70 x=17.5 Таким образом, AC=17.5 см.

Перейдём к пункту б) . Дано: AB=10 см, AC=8 см, BC=4 см, CE=4 см. Нужно найти BD и DE. Сначала найдём длину отрезка AE: AE=AC+CE=8+4=12 см. Используя коэффициент подобия k=AE/AC, найдём сторону AD: AB/AD=AC/AE⇒10/AD=8/12 Отсюда AD=10·12/8=120/8=15 см. Теперь найдём BD: так как D лежит на продолжении AB, то BD=AD-AB=15-10=5 см. Для нахождения DE используем отношение оснований: BC/DE=AC/AE⇒4/DE=8/12 DE=4·12/8=6$ см. Ответ для пункта б):$BD=5$ см,$DE=6$ см.</p><p>Разберём пункт <strong>в)</strong>. Дано:$AB:BD=2:1$ и $DE=12$ см. Нужно найти $BC$. Обозначим $BD=y$, тогда $AB=2y$. Длина всей стороны $AD=AB+BD=2y+y=3y$. Коэффициент подобия треугольников $ABC$ и $ADE$ равен отношению их соответствующих сторон $AB$ и $AD$:k = \frac{AB}{AD} = \frac{2y}{3y} = \frac{2}{3}Так как треугольники подобны, то отношение их оснований также равно этому коэффициенту:\frac{BC}{DE} = \frac{2}{3}Подставим известное значение $DE=12$:\frac{BC}{12} = \frac{2}{3}$$ $$BC = 12 \cdot \frac{2}{3} = 8см. Проверка: если BC=8, то DE должно быть больше в 1.5 раза (8 \cdot 1.5 = 12$), что верно.