ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 668: Третий признак подобия треугольников

План доказательства.

Чтобы доказать подобие двух треугольников, можно воспользоваться любым из признаков подобия. В данном случае проще всего использовать первый признак подобия (по двум углам) или определение подобия через пропорциональность сторон и равенство углов. Поскольку треугольники равносторонние, все их стороны внутри каждого треугольника равны, а все углы равны 60^°. Это позволяет легко установить соответствие между элементами фигур.

Ход решения.

Пусть даны два равносторонних треугольника: △ABC со стороной a и △A₁B₁C₁ со стороной b.

1. Рассмотрим углы данных треугольников. По определению равностороннего треугольника, все его углы равны. Сумма углов треугольника равна 180^°, следовательно, каждый угол в обоих треугольниках равен: ∠A=∠B=∠C=180^°/3=60^° ∠A₁=∠B₁=∠C₁=180^°/3=60^° Таким образом, соответственные углы треугольников равны: ∠A=∠A₁, ∠B=∠B₁, ∠C=∠C₁.
2. Рассмотрим отношения соответственных сторон. В △ABC все стороны равны a: AB=BC=AC=a. В △A₁B₁C₁ все стороны равны b: A₁B₁=B₁C₁=A₁C₁=b. Найдем отношение соответственных сторон: AB/A₁B₁=a/b, BC/B₁C₁=a/b, AC/A₁C₁=a/b Отношения всех трех пар соответственных сторон равны между собой.

Вывод и проверка.

Согласно определению подобных треугольников, если углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника и соответственные стороны пропорциональны, то такие треугольники подобны. Мы доказали, что ∠A=∠A₁, ∠B=∠B₁, ∠C=∠C₁ и AB/A₁B₁=BC/B₁C₁=AC/A₁C₁. Следовательно, △ABC∼△A₁B₁C₁. Это утверждение верно для любых двух равносторонних треугольников, независимо от длины их сторон, так как форма фигуры определяется только углами (60^°), которые всегда одинаковы.