7–9 классы Третий признак подобия треугольников § 68. Третий признак подобия треугольников

ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 671: Третий признак подобия треугольников

Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

Татьяна Белова, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 670 672 →

Условие

Через точку M, взятую на медиане AD треугольника ABC, и вершину B проведена прямая, пересекающая сторону AC в точке K. Найдите отношение AK/KC, если

а) M — середина отрезка AD

б) AM/MD=1/2.

Треугольник

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для решения этой задачи воспользуемся методом вспомогательной параллельной прямой. Проведем через точку D прямую, параллельную стороне BK, и обозначим точку её пересечения со стороной AC как P. Таким образом, DP∥BK.

Рассмотрим треугольник BDK (или точнее, отрезки на секущих). Поскольку AD — медиана треугольника ABC, то точка D является серединой стороны BC, то есть BD=DC. В треугольнике CBK прямая DP проходит через середину стороны BC (D) и параллельна стороне BK. Согласно теореме Фалеса (или свойству средней линии), эта прямая пересекает сторону CK в её середине. Следовательно, KP=PC.

Теперь рассмотрим треугольник ADP. Прямая MK (часть прямой BMK) параллельна основанию DP этого треугольника? Нет, здесь удобнее использовать подобие треугольников или теорему о пропорциональных отрезках для угла A. Рассмотрим угол CAD. Стороны угла пересекаются параллельными прямыми MK (так как M лежит на BK, а K на AC, то MK совпадает с частью BK) и DP. Но M лежит на AD, а K на AP (так как P лежит на AC). Так как MK∥DP, то по теореме об отношении отрезков, отсекаемых параллельными прямыми на сторонах угла, справедливо равенство: AK/KP=AM/MD

Нам нужно найти отношение AK/KC. Заметим, что KC=KP+PC. Так как мы установили, что KP=PC, то KC=2KP. Следовательно, искомое отношение можно переписать как: AK/KC=AK/2KP=1/2·AK/KP Подставив выражение из предыдущего шага, получаем общую формулу для данной конфигурации: AK/KC=1/2·AM/MD

Разберем пункт а) . По условию M — середина отрезка AD. Это означает, что AM=MD, то есть отношение AM/MD=1. Подставляем это значение в нашу формулу: AK/KC=1/2·1=1/2

Разберем пункт б) . По условию дано отношение AM/MD=1/2. Подставляем это значение в формулу: AK/KC=1/2·1/2=1/4

Ответ

а) 1/2

б) 1/4

Использован метод введения вспомогательной параллели через середину основания (точку D). Ключевые шаги: 1) Доказано, что P - середина KC за счет того, что D - середина BC и DP || BK. 2) Использовано подобие треугольников AMK и ADP (или теорема Фалеса для угла A) для связи AK/KP и AM/MD. 3) Получена общая зависимость AK/KC = 0.5 * (AM/MD).

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 671 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 671?

Краткий ответ: а) 12 б) 14.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 68. Третий признак подобия треугольников.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.