ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 674

Для решения этой задачи воспользуемся свойством средней линии треугольника и признаками подобия. Нам дано, что точки P и Q являются серединами сторон AB и AC соответственно. Это означает, что отрезок PQ является средней линией треугольника ABC, параллельной третьей стороне BC.

Так как PQ∥BC (точнее, PQ∥BC неверно, верно PQ∥BC? Нет, средняя линия параллельна основанию). Давайте рассуждать через подобие. Треугольник APQ подобен треугольнику ABC по двум углам: угол A общий, а так как PQ∥BC (опять ошибка в мысли, исправляю логику для вывода): средняя линия PQ параллельна стороне BC. Следовательно, углы nangleAPQ=nangleABC и nangleAQP=nangleACB как соответственные при параллельных прямых PQ и BC и секущих AB и AC. Таким образом, △APQnsim△ABC.

Коэффициент подобия k равен отношению соответствующих сторон. Так как P — середина AB, то AP=1/2AB. Значит, коэффициент подобия k=AP/AB=1/2. Известно, что отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту их подобия. Пусть P_APQ — периметр треугольника APQ, а P_ABC — периметр треугольника ABC. Тогда:

P_APQ/P_ABC=k=1/2

Отсюда следует, что периметр большого треугольника вдвое больше периметра малого:

P_ABC=2×P_APQ

Подставим известное значение периметра треугольника APQ, равное 21 см:

P_ABC=2×21=42 см

Проверка: Если стороны треугольника ABC равны a,b,c, то стороны треугольника APQ равны c/2,b/2,a/2 (так как PQ=a/2). Периметр APQ: a+b+c/2=21. Тогда a+b+c=42. Ответ верен.