ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 677

План решения.

Для нахождения площади треугольника ABC через площадь треугольника ABO воспользуемся свойством медиан. Медианы треугольника пересекаются в одной точке (центроиде) и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины. Это означает, что расстояние от точки пересечения O до стороны AB составляет одну треть от высоты треугольника ABC, опущенной на эту же сторону. Также можно рассмотреть отношение площадей через длины медиан или использовать известное свойство: три треугольника, образованные центроидом и сторонами исходного треугольника (ABO, BCO, CAO), имеют равные площади.

Вычисление.

Рассмотрим треугольник ABC. Пусть h_C — высота, опущенная из вершины C на сторону AB. Тогда площадь всего треугольника равна:

Точка O лежит на медиане CC₁ (где C₁ — середина AB). По свойству медиан точка пересечения O делит медиану CC₁ в отношении 2:1, считая от вершины C. То есть CO:OC₁=2:1. Следовательно, длина отрезка OC₁ составляет 1/3 от всей длины медианы CC₁.

Так как C₁ лежит на стороне AB, а CC₁ не обязательно является высотой, то нужно быть аккуратнее с геометрией. Более простой путь — использовать свойство площадей. Медиана AA₁ делит треугольник ABC на два равновеликих треугольника ABA₁ и ACA₁. Аналогично для других медиан. Известный факт: медианы разбивают треугольник на 6 малых треугольников равной площади. Треугольник ABO состоит из двух таких малых треугольников (AOM и BOM, где M — середина AB, но это усложнение). Давайте используем более прямое соотношение высот. Пусть H — высота треугольника ABC, опущенная на основание AB. Точка O находится на расстоянии 1/3H от основания AB (так как центроид удален от каждой стороны на 1/3 соответствующей высоты). Высота треугольника ABO, опущенная из вершины O на основание AB, равна h_O=1/3H.

Площадь треугольника ABO вычисляется по формуле:

По условию задачи S_ABO=S. Подставим это значение:

Отсюда находим площадь треугольника ABC:

Проверка.

Свойство центроида гарантирует, что он делит треугольник на три равновеликих треугольника ABO, BCO и CAO. Если площадь одного из них равна S, то общая площадь равна сумме этих трех площадей: S+S+S=3S. Результат совпадает с полученным выше.