7–9 классы Применение подобия треугольников в измерительных работах на местности § 73. Применение подобия треугольников в измерительных работах на местности

ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 680

Тема: Применение подобия треугольников в измерительных работах на местности

Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

Дмитрий Орлов, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 679 681 →

Условие

Докажите равенства

а) h=ab/c

б) a^2/a_c=b²/b_c.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения.

В задаче рассматривается прямоугольный треугольник с катетами a и b, гипотенузой c и высотой h, опущенной на гипотенузу. Также используются проекции катетов на гипотенузу: a_c — проекция катета a, b_c — проекция катета b. Для доказательства пункта а) применим два способа вычисления площади треугольника. Для пункта б) воспользуемся известными соотношениями в прямоугольном треугольнике (теорема о квадрате катета), которые обычно доказываются через подобие треугольников (как в задаче 679).

Вычисление и доказательства.

а) Доказательство равенства h=ab/c.

Площадь прямоугольного треугольника можно найти двумя способами:

Через катеты: S=1/2ab.
Через гипотенузу и высоту к ней: S=1/2ch.

Приравняем эти выражения:

1/2ab=1/2ch

Умножим обе части на 2:

ab=ch

Разделим обе части на c (так как c>0):

h=ab/c

Равенство доказано.

б) Доказательство равенства a²/a_c=b²/b_c.

Согласно теореме о квадрате катета (которая следует из подобия треугольников, см. задачу 679), квадрат катета равен произведению гипотенузы на его проекцию:

a²=c·a_c b²=c·b_c

Из этих формул выразим отношения:

a²/a_c=c b²/b_c=c

Так как оба отношения равны одной и той же величине c (гипотенузе), то они равны между собой:

a²/a_c=b²/b_c

Равенство доказано.

Проверка.

Формула h=ab/c является стандартной для высоты прямоугольного треугольника. Соотношение a²/a_c=b²/b_c также верно, так как обе дроби упрощаются до длины гипотенузы c. Логика вывода не противоречит условиям задачи.

Ответ

а) h=ab/c

б) a²/a_c=b²/b_c

Использованы стандартные свойства прямоугольного треугольника: площадь через катеты и через гипотенузу с высотой; теорема о квадрате катета (a²=c·a_c).

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 680 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 680?

Краткий ответ: а) h = abc б) a^2a_c = b^2b_c.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 73. Применение подобия треугольников в измерительных работах на местности.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.