ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 683

План решения.

Сначала проанализируем данный треугольник со сторонами 5 см, 12 см и 13 см. Заметим, что сумма квадратов двух меньших сторон равна квадрату большей стороны: 5²+12²=25+144=169, а 13²=169. Следовательно, по обратной теореме Пифагора этот треугольник является прямоугольным с гипотенузой 13 см. Высота, проведенная к гипотенузе, делит её на два отрезка. Обозначим эти отрезки как x и y. Нам нужно найти их длины.

Вычисление.

В прямоугольном треугольнике высота, опущенная на гипотенузу, является средним геометрическим между отрезками, на которые она делит гипотенузу, но для нахождения самих отрезков удобнее использовать формулы проекций катетов или площадь. Способ 1 (через площади и Пифагор): Пусть высота равна h. Площадь треугольника можно вычислить двумя способами: S=1/2·5·12=30 см² Также площадь равна половине произведения гипотенузы на высоту к ней: S=1/2·13·h⇒30=6.5h⇒h=60/13 см Теперь рассмотрим один из полученных прямоугольных треугольников, образованных высотой. Пусть отрезок прилежащий к катету 5 см равен x. По теореме Пифагора для малого треугольника с гипотенузой 5 и катетом h: x²+h²=5² x²+(60/13)²=25 x²=25-3600/169=25·169-3600/169=4225-3600/169=625/169 x=625/169=25/13=112/13 см Второй отрезок y равен разности всей гипотенузы и первого отрезка: y=13-x=13-25/13=169-25/13=144/13=111/13 см

Проверка.

Проверим результат через свойство проекции катета на гипотенузу. Квадрат катета равен произведению гипотенузы на прилежащий к нему отрезок. Для катета 5: 5²=13·x⇒25=13x⇒x=25/13. Совпадает. Для катета 12: 12²=13·y⇒144=13y⇒y=144/13. Совпадает. Сумма отрезков: 25/13+144/13=169/13=13. Всё верно.