7–9 классы Применение подобия треугольников в измерительных работах на местности § 73. Применение подобия треугольников в измерительных работах на местности

ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 682

Тема: Применение подобия треугольников в измерительных работах на местности

Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

Юлия Громова, методист по геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 681 683 →

Условие

Высота, проведенная из вершины прямого угла прямоугольного треугольника, делит гипотенузу на два отрезка, разность которых равна 11 см. Отношение катетов треугольника равно 6:5. Найдите длину гипотенузы.

Прямоугольный треугольник

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения.

В прямоугольном треугольнике высота, опущенная на гипотенузу, образует два новых треугольника, подобных исходному и друг другу. Это свойство позволяет связать отрезки гипотенузы с квадратами катетов. Обозначим отрезки гипотенузы как m и n, а катеты — через переменную x, используя данное отношение 6:5. Нам нужно найти полную длину гипотенузы c=m+n.

Вычисление.

Пусть катеты равны a=6x и b=5x. По теореме Пифагора найдем гипотенузу c:

c=a²+b²=(6x)²+(5x)²=36x²+25x²=61x²=x61

Известно, что квадрат катета равен произведению гипотенузы на прилежащий к нему отрезок (a²=c·m, b²=c·n). Выразим отрезки m и n:

m=a²/c=36x²/x61=36x/61, n=b²/c=25x²/x61=25x/61

По условию разность отрезков равна 11 см. Так как 36>25, то m>n. Составим уравнение:

m-n=11 36x/61-25x/61=11 11x/61=11

Сократим обе части на 11:

x/61=1impliesx=61

Теперь найдем длину гипотенузы c, подставив значение x в формулу для c:

c=x61=61·61=61 см

Проверка.

Если x=61, то катеты равны a=661 и b=561. Гипотенуза c=61. Отрезки гипотенузы: m=a²/c=(36·61)/61=36 см. n=b²/c=(25·61)/61=25 см. Разность отрезков: 36-25=11 см, что совпадает с условием задачи. Отношение катетов 661:561=6:5 также верно.

Ответ

61 см

Использовано свойство проекций катетов на гипотенузу в прямоугольном треугольнике. Ключевым шагом является выражение отрезков гипотенузы через катеты и саму гипотенузу, затем решение системы уравнений относительно масштабного коэффициента катетов.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 682 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 682?

Краткий ответ: 61 см.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 73. Применение подобия треугольников в измерительных работах на местности.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.