ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 684

План доказательства.

Для доказательства теоремы Пифагора через подобие треугольников нам нужно провести высоту из вершины прямого угла C на гипотенузу AB. Обозначим основание высоты за точку H. Таким образом, мы получаем два новых прямоугольных треугольника: △AHC и △CHB, которые вместе с исходным △ABC образуют фигуру. Наша цель — выразить катеты AC и BC через отрезки гипотенузы и саму гипотенузу, используя свойства подобных треугольников (утверждение № 2 пункта 71 обычно гласит о том, что высота, проведенная к гипотенузе, разбивает треугольник на два треугольника, подобных исходному).

Вычисление и обоснование.

Рассмотрим треугольники △ABC и △AHC. У них общий угол A, а углы при вершинах C и H равны 90^°. Следовательно, △ABC∼△AHC по двум углам. Из подобия следует пропорциональность соответствующих сторон:

Отсюда получаем равенство:

Теперь рассмотрим треугольники △ABC и △CBH. У них общий угол B, а углы при вершинах C и H равны 90^°. Значит, △ABC∼△CBH. Запишем пропорцию для соответствующих сторон:

Отсюда следует:

Сложим полученные выражения для квадратов катетов:

Вынесем общий множитель AB за скобки:

Так как точка H лежит на отрезке AB, то сумма длин отрезков AH и BH равна длине всей гипотенузы AB, то есть AH+BH=AB. Подставим это в уравнение:

Проверка результата.

Мы получили искомое соотношение AC²+BC²=AB². Логика опиралась исключительно на признак подобия прямоугольных треугольников и алгебраические преобразования. Это классическое доказательство теоремы Пифагора методом площадей или подобия, которое подтверждает связь между квадратом гипотенузы и суммой квадратов катетов без использования тригонометрии или координатного метода.