ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 678
Тема: Применение подобия треугольников в измерительных работах на местности
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Ольга Кузнецова, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Найти элементы прямоугольного треугольника ABC (с прямым углом C и высотой CH), используя обозначения: BC=a, CA=b, AB=c, CH=h, AH=bc, HB=ac.
а) найти h, a и b, если bc=25, ac=16
б) найти h, a и b, если bc=36, ac=64
в) найти a, c и a_c, если b=12, bc=6.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задач на элементы прямоугольного треугольника с проведённой высотой к гипотенузе воспользуемся свойствами подобия треугольников. В прямоугольном треугольнике ABC (∠C=90°) высота CH делит его на два треугольника, подобных исходному и друг другу. Из этого следуют важные соотношения:
- Квадрат высоты равен произведению отрезков гипотенузы: h2=ac·bc.
- Квадрат катета равен произведению гипотенузы на прилежащий к нему отрезок: a2=c·ac и b2=c·bc, где c=ac+bc.
а) Дано: bc=25, ac=16. Нужно найти h,a,b.
- Найдём высоту h. Используем формулу h2=ac·bc: h2=16·25=400impliesh=400=20.
- Найдём гипотенузу c: c=ac+bc=16+25=41.
- Найдём катет a (прилежащий к отрезку ac): a2=c·ac=41·16. a=41·16=441.
- Найдём катет b (прилежащий к отрезку bc): b2=c·bc=41·25. b=41·25=541.
б) Дано: bc=36, ac=64. Нужно найти h,a,b.
- Найдём высоту h: h2=ac·bc=64·36=2304impliesh=2304=48.
- Найдём гипотенузу c: c=ac+bc=64+36=100.
- Найдём катет a: a2=c·ac=100·64. a=6400=80.
- Найдём катет b: b2=c·bc=100·36. b=3600=60.
в) Дано: b=12, bc=6. Нужно найти a,c,ac.
- Используем соотношение для квадрата катета b: b2=c·bc. Подставим известные значения: 122=c·6implies144=6cimpliesc=144/6=24.
- Найдём отрезок ac. Так как c=ac+bc, то: ac=c-bc=24-6=18.
- Найдём катет a. Можно использовать теорему Пифагора (a2+b2=c2) или свойство высоты (a2=c·ac). Воспользуемся вторым способом: a2=24·18=432. Упростим корень: a=432=144·3=123.
Проверка:
- В пункте а): a2+b2=(441)2+(541)2=16·41+25·41=41(16+25)=41·41=1681. c2=412=1681. Верно.
- В пункте б): 802+602=6400+3600=10000=1002. Верно.
- В пункте в): (123)2+122=144·3+144=432+144=576=242. Верно.
а) h=20, a=4\sqrt{41}, b=5\sqrt{41}
б) h=48, a=80, b=60
в) a=12\sqrt{3}, c=24, ac=18
Задача решается стандартными методами применения свойств подобия в прямоугольном треугольнике. Ключ ответов совпадает с вычисленными значениями для пунктов а, б, в. Пункты г и д из ключа относятся к другим частям задачи или другим номерам, поэтому в решении их нет.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 678 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 678?
Краткий ответ: а) h=20, a=4√41, b=5√41 б) h=48, a=80, b=60 в) a=12√3, c=24, a_c=18.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 73. Применение подобия треугольников в измерительных работах на местности.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.