ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 675

План доказательства:

Для решения задачи воспользуемся методом вспомогательной точки. Пусть ABCD — трапеция с основаниями AD и BC, где AD>BC. Обозначим середины диагоналей AC и BD как M и N соответственно. Чтобы связать эти точки с основаниями, проведём прямую через точку M параллельно боковой стороне CD (или просто соединим середину одной стороны с серединой диагонали). Более удобный путь: рассмотрим треугольник ADC. Точка M — середина AC. Проведём отрезок MK, параллельный основанию AD, так чтобы точка K лежала на стороне CD. По теореме о средней линии (или следствии из подобия) K будет серединой CD. Аналогично поступим в треугольнике BDC: если N — середина BD, а K — середина CD, то отрезок NK является средней линией треугольника BDC.

Вычисление и логическая цепочка:

1. Рассмотрим △ADC. Точка M — середина диагонали AC. Проведем среднюю линию MP, где P — середина боковой стороны CD. Тогда по свойству средней линии треугольника: MP∥AD и MP=1/2AD.

2. Рассмотрим △BDC. Точка N — середина диагонали BD, а точка P — середина боковой стороны CD. Отрезок NP является средней линией этого треугольника. Следовательно: NP∥BC и NP=1/2BC.

3. Так как AD∥BC (основания трапеции), то прямые MP и NP параллельны одному и тому же направлению. Поскольку обе прямые проходят через общую точку P, они совпадают. Значит, точки M, P и N лежат на одной прямой.

4. Таким образом, отрезок MN лежит на прямой, параллельной основаниям трапеции (MN∥AD∥BC).

5. Длина отрезка MN равна разности длин MP и NP (так как N лежит между M и P или наоборот, в зависимости от расположения, но геометрически это разность проекций): MN=MP-NP=1/2AD-1/2BC=1/2(AD-BC).

Проверка вывода:

Мы доказали, что отрезок, соединяющий середины диагоналей, параллелен основаниям, так как он составлен из двух средних линий, каждая из которых параллельна соответствующему основанию, а основания параллельны друг другу. Формула длины подтверждает утверждение «равен полуразности оснований». Если бы трапеция была параллелограммом (AD=BC), то длина отрезка стала бы нулевой, что верно, так как середины диагоналей совпали бы. Для обычной трапеции с AD>BC результат положителен и корректен.