ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 670: Третий признак подобия треугольников
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Алексей Широков, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
В треугольнике ABC сторона AB равна a, а высота CH равна h. Найдите сторону квадрата, вписанного в треугольник ABC так, что две соседние вершины квадрата лежат на стороне AB, а две другие — соответственно на сторонах AC и BC.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Для нахождения стороны вписанного квадрата воспользуемся свойством подобия треугольников. Обозначим искомую сторону квадрата через x. Квадрат имеет две вершины на основании AB и по одной вершине на боковых сторонах AC и BC. Верхняя сторона квадрата параллельна основанию AB, поэтому она отсекает от исходного треугольника ABC меньший треугольник, который подобен большому. Мы составим пропорцию между высотами и основаниями этих подобных треугольников.
Вычисление.
Пусть MN — верхняя сторона квадрата, где M лежит на AC, а N на BC. Тогда MN=x. Высота исходного треугольника CH=h. Поскольку сторона квадрата лежит на основании AB, то расстояние от точки пересечения высоты CH со стороной MN до основания равно стороне квадрата x. Следовательно, высота малого треугольника CMN, опущенная из вершины C на основание MN, равна разности полной высоты и стороны квадрата: h-x.
Так как MN∥AB, то треугольник CMN подобен треугольнику CAB по двум углам (угол при вершине C общий, соответственные углы при параллельных прямых равны).
Из условия подобия следует, что отношение оснований равно отношению соответствующих высот:
MN/AB=hCMN/hABCПодставим известные величины (MN=x, AB=a, hCMN=h-x, hABC=h):
x/a=h-x/hРешим полученное уравнение относительно x. Умножим обе части на ah:
xh=a(h-x) xh=ah-axПеренесем слагаемые с x в левую часть:
xh+ax=ah x(h+a)=ah x=ah/a+hПроверка.
Размерность ответа правильна: произведение длин делится на длину, результат имеет размерность длины. Если высота h стремится к бесконечности, сторона квадрата стремится к a, что логично для очень высокого узкого треугольника (квадрат упирается в боковые стороны почти у самого основания). Если же основание a очень велико по сравнению с высотой, сторона квадрата стремится к h, так как квадрат ограничивается высотой треугольника. Формула работает корректно.
а) ah/a+h
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 670 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 670?
Краткий ответ: а) aha+h.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 68. Третий признак подобия треугольников.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.