ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 669: Третий признак подобия треугольников
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Юлия Громова, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Найдите основание равнобедренного треугольника, если центр вписанной в него окружности делит высоту, проведённую к основанию, в отношении 12 : 5, считая от вершины, а боковая сторона равна 60 см.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой и биссектрисой. Центр вписанной окружности лежит на этой высоте (так как он лежит на пересечении биссектрис). Нам дано отношение, в котором центр делит высоту: 12:5 от вершины. Это означает, что если обозначить высоту через h, то расстояние от вершины до центра равно 12/17h, а от центра до основания — 5/17h. Расстояние от центра до основания есть радиус вписанной окружности r. Таким образом, r=5/17h.
Для нахождения основания воспользуемся свойством касательных или формулой площади. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, половиной основания и боковой стороной. Пусть основание равно a, тогда половина основания равна a/2. По теореме Пифагора: h2+(a/2)2=b2, где b=60 см.
Также можно использовать формулу для радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через стороны и площадь, но проще рассмотреть подобие треугольников или тригонометрию. Давайте используем более прямой геометрический подход с помощью свойства биссектрисы угла при основании или просто выразим всё через a и h.
Известно, что для любого треугольника S=pr, где p — полупериметр, r — радиус. Также S=1/2ah.
Полупериметр p=a+2b/2=a/2+b.
Приравняем выражения для площади:
1/2ah=r(a/2+b)Подставим известное соотношение r=5/17h:
1/2ah=5/17h(a/2+60)Вычисление.
Сократим обе части уравнения на h (так как h>0):
a/2=5/17(a/2+60)Умножим обе части на 34 (чтобы избавиться от знаменателей 2 и 17):
17a=10(a/2+60)·2/2?Давайте умножим аккуратно на 34:
34·a/2=34·5/17(a/2+60)17a=2·5(a/2+60)17a=10(a/2+60)17a=5a+60012a=600a=50Итак, основание треугольника равно 50 см.
Теперь найдём высоту h, чтобы проверить корректность данных по теореме Пифагора.
h2=b2-(a/2)2=602-252h2=3600-625=2975h=2975=25·119=5119Радиус r=5/17h=25119/17.
Проверка через формулу r=S/p:
S=1/2·50·5119=125119p=50+120/2=85r=125119/85=25119/17Результаты совпадают.
Ответ.
Основание равнобедренного треугольника равно 50 см.
50 см
Задача решается через связь высоты, радиуса вписанной окружности и площади треугольника. Ключевой момент: в равнобедренном треугольнике центр вписанной окружности лежит на высоте к основанию. Отношение 12:5 позволяет выразить радиус r через высоту h: r=5/17h. Далее используется формула площади S=1/2ah=pr, где p — полупериметр. Подстановка выражений приводит к линейному уравнению относительно основания a.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 669 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 669?
Краткий ответ: 50 см.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 68. Третий признак подобия треугольников.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.