ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 665: Третий признак подобия треугольников

План решения.

Для доказательства равенства отношений отрезков на двух прямых, пересекаемых параллельными прямыми, удобно использовать свойства треугольников. Проведём вспомогательную прямую через точку B, параллельную прямой b. Пусть эта прямая пересекает прямые AA₁ и CC₁ в точках M и N соответственно. Тогда мы получим два новых треугольника: △ABM и △CBN. Наша задача сводится к доказательству их подобия по третьему признаку (или через параллельность), что позволит связать стороны исходных отрезков.

Ход вычислений и доказательство.

Рассмотрим четырёхугольники ABA₁M и BCC₁N. По условию AA₁∥BB₁∥CC₁. Мы провели MN∥b, то есть MN∥A₁C₁. Следовательно, ABA₁M — параллелограмм, так как его противоположные стороны попарно параллельны (AB⊂a, MA₁⊂AA₁, но точнее: AM∥BA₁ не верно, давайте пересмотрим построение).

Более простой путь: соединим точки A с B₁ и C с B₁. Рассмотрим △ABB₁ и △CBB₁. Это не совсем удобно для прямого сравнения длин. Давайте вернёмся к классическому способу через подобие треугольников, образованных диагоналями или продолжениями сторон. Проведём прямую AC (это прямая a) и A₁C₁ (это прямая b). Рассмотрим △ABC и △A₁B₁C₁? Нет, они не обязательно подобны. Исправленный план: Проведём прямую через точку B, параллельную прямой AA₁. Она пересечёт прямую b в точке K. Тогда ABKA — параллелограмм, откуда AB=AK и BK=AA₁. Аналогично, если провести через B прямую, параллельную CC₁, она пересечёт b в точке L, и BCLB — параллелограмм, откуда BC=BL и BL=CC₁. Но это усложняет. Самый стандартный метод для этой теоремы (теорема Фалеса в общем виде): Рассмотрим △AA₁C₁ и секущую BB₁? Нет. Давайте используем подобие треугольников, которые образуются при пересечении прямых AC и A₁C₁ с какой-либо другой прямой, или просто докажем через площади/высоты. Воспользуемся следующим приёмом: Проведём прямую AB₁. Рассмотрим △AB₁C и △A₁B₁C₁? Нет. Давайте применим третий признак подобия к треугольникам, которые можно выделить. Пусть прямые a и b пересекаются в точке O (случай непараллельных прямых). Если a∥b, то ABB₁A₁ и BCC₁B₁ — параллелограммы, тогда AB=A₁B₁ и BC=B₁C₁, отношение равно 1. Доказано. Если a и b не параллельны, пусть они пересекаются в точке O. Тогда △OAA₁∼△OBB₁∼△OCC₁ по второму признаку подобия (углы при вершине O общие, а соответственные углы равны из-за параллельности AA₁∥BB₁∥CC₁). Из подобия △OAA₁∼△OBB₁ следует: OA/OB=AA₁/BB₁=OA₁/OB₁ Из подобия △OBB₁∼△OCC₁ следует: OB/OC=BB₁/CC₁=OB₁/OC₁ Нам нужно доказать, что AB/BC=A₁B₁/B₁C₁. Заметим, что AB=|OB-OA| и BC=|OC-OB|. Аналогично A₁B₁=|OB₁-OA₁| и B₁C₁=|OC₁-OB₁|. Обозначим коэффициент подобия первого треугольника ко второму за k₁, а второго к третьему за k₂? Лучше выразить всё через одну переменную. Пусть OA/OB=x. Тогда OA=x·OB. Пусть OB/OC=y. Тогда OC=OB/y. Это сложно. Давайте проще. Из △OAA₁∼△OBB₁: OA/OB=OA₁/OB₁=k. Значит OA=k·OB и OA₁=k·OB₁. Тогда AB=OB-OA=OB(1-k) (предполагая порядок точек O,A,B). Аналогично A₁B₁=OB₁-OA₁=OB₁(1-k). Отсюда AB/A₁B₁=OB(1-k)/OB₁(1-k)=OB/OB₁. Теперь рассмотрим пару △OBB₁ и △OCC₁. Они также подобны. Пусть OB/OC=OB₁/OC₁=m. Значит OC=OB/m и OC₁=OB₁/m. Тогда BC=OC-OB=OB/m-OB=OB(1-m/m). А B₁C₁=OC₁-OB₁=OB₁/m-OB₁=OB₁(1-m/m). Отсюда BC/B₁C₁=OB(1-m/m)/OB₁(1-m/m)=OB/OB₁. Таким образом, мы получили, что AB/A₁B₁=OB/OB₁ и BC/B₁C₁=OB/OB₁. Следовательно, AB/A₁B₁=BC/B₁C₁. Переставив члены пропорции, получаем искомое равенство: AB/BC=A₁B₁/B₁C₁

Проверка.

Логика рассуждений опирается на фундаментальное свойство подобных треугольников, образованных лучами угла и параллельными основаниями. Отношение отрезков на одной стороне угла равно отношению соответствующих отрезков на другой стороне. Поскольку AA₁∥BB₁∥CC₁, все треугольники OAA₁, OBB₁, OCC₁ подобны между собой. Это гарантирует постоянство коэффициента подобия для пар соседних треугольников, что и приводит к равенству отношений длин отрезков на секущих прямых. Случай параллельных прямых a и b является предельным случаем (точка пересечения O уходит в бесконечность), где фигура становится системой параллелограммов, и равенство тривиально выполняется.