ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 663: Третий признак подобия треугольников
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Никита Ершов, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Стороны угла O пересечены параллельными прямыми AB и CD. Докажите, что отрезки OA и AC пропорциональны отрезкам OB и BD (рис. 225).
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Для доказательства пропорциональности отрезков OA и AC, а также OB и BD, воспользуемся свойством параллельных прямых, пересекающих стороны угла. Поскольку прямые AB и CD параллельны (AB∥CD), треугольники OAB и OCD подобны по первому признаку подобия (углы при вершине O общие, соответственные углы при параллельных прямых равны). Из подобия следует пропорциональность соответствующих сторон. Далее нужно выразить искомые отрезки через стороны этих треугольников.
Вычисление и доказательство.
Рассмотрим треугольники △OAB и △OCD. Так как AB∥CD, то:
- ∠AOB=∠COD (общий угол);
- ∠OAB=∠OCD и ∠OBA=∠ODC (соответственные углы при параллельных прямых AB и CD и секущих OC и OD).
Следовательно, △OAB∼△OCD по двум углам. Из условия подобия записываем пропорцию соответствующих сторон:
OA/OC=OB/ODЗаметим, что точка A лежит на отрезке OC, а точка B — на отрезке OD. Поэтому можно выразить длины сторон больших треугольников через части:
OC=OA+AC OD=OB+BDПодставим эти выражения в полученную пропорцию:
OA/OA+AC=OB/OB+BDИспользуем свойство пропорций: если a/b=c/d, то a/b-a=c/d-c (при условии b>a и d>c). Применим это к нашему равенству, вычитая числитель из знаменателя в обеих частях:
OA/(OA+AC)-OA=OB/(OB+BD)-OBУпрощаем знаменатели:
OA/AC=OB/BDЭто равенство означает, что отрезки OA и AC пропорциональны отрезкам OB и BD.
Проверка.
Логика рассуждений опирается на фундаментальную теорему о делении сторон угла параллельными прямыми (частный случай теоремы Фалеса или следствие из подобия треугольников). Если бы прямые не были параллельны, подобие нарушилось бы, и пропорция не выполнялась бы. В данном случае условие AB∥CD гарантирует сохранение отношения длин отрезков на лучах угла. Результат подтверждает утверждение задачи.
Доказано: OA/AC=OB/BD
Задача решается через подобие треугольников OAB и OCD. Ключевой момент — переход от пропорции целых сторон (OA/OC = OB/OD) к пропорции частей (OA/AC = OB/BD) с помощью свойств пропорций.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 663 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 663?
Краткий ответ: Доказано: OAAC = OBBD.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 68. Третий признак подобия треугольников.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.