ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 73: Перпендикулярные прямые

План решения:

Для ответа на вопрос вспомним фундаментальное свойство перпендикулярных прямых. Через данную точку на прямой можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной. В условии задачи сказано, что прямая a пересекает стороны угла A в точках P и Q. Это означает, что точки P и Q лежат на прямой a. Нам нужно проверить, могут ли отрезки (или лучи) AP и AQ быть одновременно перпендикулярны прямой a.

Вычисление и логический вывод:

Предположим обратное: пусть обе прямые AP и AQ перпендикулярны прямой a. Тогда точка A является общей для этих двух прямых. Согласно теореме о единственности перпендикуляра, из точки A, не лежащей на прямой a (так как A — вершина угла, а P и Q — точки пересечения сторон с прямой a, то есть A∉a), к прямой a можно опустить единственный перпендикуляр.

Если бы AP⊥a и AQ⊥a, то через точку A проходили бы две различные прямые (AP и AQ), перпендикулярные одной и той же прямой a. Это противоречит указанной выше теореме. Следовательно, прямые AP и AQ должны совпадать. Но если они совпадают, то точки P и Q лежат на одной прямой, проходящей через A. При этом P лежит на стороне угла, а Q — на другой стороне угла. Если стороны угла различны (угол не развернутый и не нулевой), то лучи AP и AQ направлены в разные стороны или являются разными лучами одного угла, но не могут быть одним и тем же перпендикуляром к прямой a, если P и Q — разные точки пересечения с разными сторонами угла.

Более простой аргумент: если AP⊥a и AQ⊥a, то AP∥AQ. Поскольку у них есть общая точка A, прямые AP и AQ совпадают. Значит, точки P и Q лежат на одной прямой, проходящей через A. Но по условию P лежит на одной стороне угла A, а Q — на другой. Стороны угла — это два различных луча с общим началом A. Единственная точка, принадлежащая обоим лучам, — это сама вершина A. Однако P и Q — точки пересечения прямой a со сторонами, и обычно подразумевается, что P≠A и Q≠A (иначе угол вырождается или прямая проходит через вершину). Даже если допустить, что одна из точек совпадает с A, вторая не может быть перпендикуляром, так как тогда сторона угла была бы перпендикулярна прямой a, а другая сторона тоже должна быть перпендикулярна, что невозможно для двух разных сторон угла.

Проверка:

Рассмотрим геометрическую конфигурацию. Пусть угол A образован двумя лучами. Прямая a «перерезает» этот угол. Из точки A к прямой a можно провести только один перпендикуляр. Этот перпендикуляр попадет либо во внутреннюю область угла, либо на одну из сторон, либо вне угла. Он не может одновременно попасть на обе стороны угла в разных точках P и Q, так как это потребовало бы наличия двух перпендикуляров из одной точки к одной прямой. Ответ отрицательный.