ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 77: Перпендикулярные прямые

План решения.

Чтобы найти количество неразвёрнутых углов при пересечении трёх прямых в одной точке, нужно проанализировать геометрическую конфигурацию. Три прямые, проходящие через одну точку, делят плоскость на несколько частей (углов). Нам необходимо подсчитать все углы, которые меньше 180^° (неразвёрнутые), исключив из рассмотрения развёрнутые углы (180^°) и полные обороты (360^°).

Вычисление.

Рассмотрим три прямые a, b и c, пересекающиеся в точке O. Эти прямые образуют 6 лучей, исходящих из точки O. Обозначим эти лучи по порядку вокруг точки как l_1,l_2,l_3,l_4,l_5,l₆. Углы между соседними лучами называются смежными или вертикальными в зависимости от расположения, но для подсчёта всех возможных углов удобно использовать комбинаторный подход или прямой перебор.

Любой угол определяется двумя лучами. Всего лучей 6. Количество пар лучей равно C26=6·5/2=15. Однако не каждая пара лучей образует угол, который мы считаем «обычным» неразвёрнутым углом в контексте школьной геометрии, если они лежат на одной прямой (образуя развёрнутый угол) или совпадают. Давай посмотрим внимательнее на структуру углов.

Три прямые делят плоскость на 6 малых углов: ∠(l_1,l₂), ∠(l_2,l₃), ..., ∠(l_6,l₁). Это 6 углов первого порядка (соседние лучи). Далее, объединяя два соседних малых угла, получаем углы второго порядка: ∠(l_1,l₃), ∠(l_2,l₄), ..., ∠(l_6,l₂). Таких углов тоже 6. Объединяя три соседних малых угла, мы получаем углы, образованные противоположными лучами одной прямой? Нет, три прямые проходят через центр. Если взять луч l₁ и луч l₄ (противоположный ему, так как это одна прямая), то угол между ними равен 180^° — это развёрнутый угол. Такие углы нам не нужны, так как требуется найти неразвёрнутые углы. Если взять луч l₁ и луч l₅, то угол ∠(l_1,l₅) состоит из четырёх малых углов. Но с другой стороны, этот же угол можно измерить как сумму двух оставшихся малых углов ∠(l_5,l₁) (через l₆). В геометрии обычно рассматривают меньший из двух углов, образованных двумя лучами, если не указано иное, либо считают все возможные углы до 180^° включительно (но без 180^°). Давайте посчитаем строго: 1. Углы, образованные соседними лучами (меньше 180^°, если прямые не совпадают): их 6. 2. Углы, образованные лучами через один (сумма двух соседних малых углов): их 6. Так как сумма всех 6 малых углов равна 360^°, то сумма любых трёх подряд идущих малых углов может быть меньше, равна или больше 180^°. Но в задаче речь идёт о количестве углов, образующихся при пересечении. Обычно под этим понимают все различные углы с вершиной в точке пересечения, величина которых строго меньше 180^°. Проверим гипотезу: сколько всего углов меньше 180^°? Каждая пара лучей образует два угла (один меньше 180^°, другой больше 180^°, кроме случая 180^°). Всего пар лучей 15. Из них 3 пары лежат на одной прямой (лучи противоположны), образуя развёрнутые углы (180^°). Оставшиеся 15-3=12 пар лучей не лежат на одной прямой. Каждая такая пара образует ровно один угол, меньший 180^° (и один больший). Следовательно, количество неразвёрнутых углов равно 12. Давайте убедимся, что нет других интерпретаций. Иногда под «углами, образующимися при пересечении» понимают только те, которые ограничены непосредственно данными прямыми, т.е. смежные и вертикальные. При пересечении двух прямых образуется 4 неразвёрнутых угла. При добавлении третьей прямой она делит каждый из существующих углов или проходит внутри них. Третья прямая добавляет новые лучи. Итоговая картина: 6 лучей. Любые два несоседних (в смысле одной прямой) луча образуют угол <180^°. Лучи, лежащие на одной прямой, образуют угол =180^°. Лучи, совпадающие, образуют угол 0^° (не считается). Итак, у нас есть 6 лучей. Выберем любой луч. С ним можно составить углы с другими 5 лучами. Один из этих лучей противоположен выбранному (угол 180^°). Четыре других луча образуют с выбранным углы, отличные от 180^°. Из этих четырёх углов два будут меньше 180^°, а два — больше 180^°? Нет, угол между лучами всегда берётся меньшим, если не сказано иначе. Но в комбинаторике углов при пересечении прямых часто считают все углы, которые физически видны на чертеже как части плоскости, разделённой прямыми. Однако стандартное определение неразвёрнутого угла — это угол, градусная мера которого больше 0^° и меньше 180^°. Сколько таких углов определяют 6 лучей? Всего пар лучей: 15. Пар, образующих развёрнутый угол: 3 (так как 3 прямые). Остальные пары: 15-3=12. Для каждой из этих 12 пар существует ровно один угол, меньший 180^° (второй угол той же пары больше 180^°). Значит, всего неразвёрнутых углов 12. N=C26-3=15-3=12

Проверка.

Рассмотрим частный случай: две прямые. Лучей 4. Пар C24=6. Развёрнутых углов 2 (по числу прямых). Неразвёрнутых: 6-2=4. Это верно (два острых/тупых и два тупых/острых, всего 4 угла вокруг центра, все <180^°). Рассмотрим три прямые. Лучей 6. Пар 15. Развёрнутых 3. Неразвёрнутых 12. Логика сохраняется. Каждый неразвёрнутый угол однозначно соответствует паре лучей, не лежащих на одной прямой.