ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 80: Перпендикулярные прямые

План решения.

Сначала выразим длины всех частей отрезка AB через его общую длину a. По условию AP=2PQ=2QB. Обозначим длину меньшего отрезка PQ (и равного ему QB) за x. Тогда AP=2x, PQ=x, QB=x. Сумма этих длин равна длине всего отрезка AB. Найдём x через a, а затем определим координаты или относительные положения точек для нахождения искомых расстояний.

Вычисление.

Запишем уравнение для всей длины отрезка:

Таким образом, длины участков равны: QB=a/4, PQ=a/4, AP=2a/4=a/2.

а) Расстояние между точкой A и серединой отрезка QB.

Обозначим середину отрезка QB как точку M₁. Так как длина QB=a/4, то расстояние от точки Q до M₁ равно половине этой длины: QM₁=1/2·a/4=a/8. Расстояние от A до M₁ складывается из длин отрезков AP, PQ и QM₁: AM₁=AP+PQ+QM₁=a/2+a/4+a/8 Приведём к общему знаменателю 8: AM₁=4a/8+2a/8+a/8=7a/8

б) Расстояние между серединами отрезков AP и QB.

Обозначим середину отрезка AP как M₂, а середину отрезка QB как M₁ (как в пункте а). Длина отрезка AP=a/2, значит, расстояние от A до M₂ равно AM₂=1/2·a/2=a/4. Мы уже знаем, что расстояние от A до M₁ равно 7a/8. Искомое расстояние M₂M₁ — это разность расстояний от начала отрезка A до этих точек: M₂M₁=AM₁-AM₂=7a/8-a/4 Приведём к общему знаменателю: M₂M₁=7a/8-2a/8=5a/8

Проверка.

Проверим результат для пункта б другим способом. Расстояние между серединами крайних отрезков можно найти как сумму половины левого отрезка, среднего отрезка и половины правого отрезка: M₂M₁=AP/2+PQ+QB/2=a/2/2+a/4+a/4/2=a/4+a/4+a/8=2a/8+2a/8+a/8=5a/8 Результаты совпадают. Для пункта а: A находится в начале, M₁ на расстоянии AP+PQ+1/2QB=4a/8+2a/8+a/8=7a/8. Всё верно.