ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 83: Перпендикулярные прямые

План решения.

Для доказательства равенства BC=2MN воспользуемся свойствами отрезков на прямой и определением середины отрезка. Так как точки A, B и C лежат на одной прямой, а M и N — середины отрезков AB и AC, можно выразить длины отрезков AM, MB, AN и NC через половины соответствующих целых отрезков. Затем найдем длину отрезка MN как разность или сумму этих частей в зависимости от взаимного расположения точек, и сравним полученное выражение с длиной отрезка BC.

Вычисление и доказательство.

По условию точка M является серединой отрезка AB, следовательно:

Точка N является серединой отрезка AC, следовательно:

Рассмотрим взаимное расположение точек на прямой. Поскольку задача не уточняет порядок точек A,B,C, но требует доказать общее утверждение, предположим наиболее общий случай, когда лучи AB и AC направлены в одну сторону (или просто используем координатный метод для строгости). Пусть координата точки A равна 0. Тогда координаты точек будут: x_A=0, x_B=b, x_C=c.

Координата середины M отрезка AB: x_M=0+b/2=b/2. Координата середины N отрезка AC: x_N=0+c/2=c/2.

Длина отрезка MN равна модулю разности координат его концов: MN=|x_N-x_M|=|c/2-b/2|=1/2|c-b|

Длина отрезка BC равна модулю разности координат его концов: BC=|x_C-x_B|=|c-b|

Сравнивая полученные выражения, видим, что:

Проверка.

Если точка B лежит между A и C, то AC=AB+BC. Тогда AN=1/2(AB+BC), а AM=1/2AB. Отрезок MN=AN-AM=1/2(AB+BC)-1/2AB=1/2BC. Следовательно, BC=2MN. Утверждение верно.