ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 82: Перпендикулярные прямые

Для решения задачи введем обозначения для длин четырех частей отрезка. Пусть длины частей равны a, b, c и d соответственно. По условию сумма этих длин равна длине всего отрезка: a+b+c+d=36

Рассмотрим расположение середин частей на прямой. Обозначим середину первой части как точку M₁, второй — M₂, третьей — M₃, четвертой — M₄. Нам известно расстояние между серединами крайних частей (M₁ и M₄), которое составляет 30 см.

Выразим координаты этих точек, приняв начало отрезка за 0. Тогда координата M₁ равна a/2. Координата M₄ находится в конце отрезка минус половина последней части, то есть 36-d/2. Расстояние между ними равно разности их координат: M₁M₄=a/2+b+c+d/2=30 Заметим, что выражение a/2+b+c+d/2 можно переписать через сумму всех частей. Вычтем из полного уравнения a+b+c+d=36 данное уравнение:

У нас есть система:
1) a+b+c+d=36
2) 0.5a+b+c+0.5d=30

Вычтем второе уравнение из первого: (a+b+c+d)-(0.5a+b+c+0.5d)=36-30 0.5a+0.5d=6 Умножим обе части на 2: a+d=12 Теперь найдем сумму средних частей b+c: b+c=36-(a+d)=36-12=24

Нам нужно найти расстояние между серединами двух средних частей, то есть длину отрезка M₂M₃. Координата середины второй части M₂ равна a+b/2. Координата середины третьей части M₃ равна a+b+c/2. Расстояние между ними: M₂M₃=(a+b+c/2)-(a+b/2)=b/2+c/2=b+c/2 Подставим найденное значение суммы b+c=24: M₂M₃=24/2=12

Проверка: Если a+d=12 и b+c=24, то общая длина 12+24=36 см. Расстояние между крайними серединами: a/2+b+c+d/2=a+d/2+(b+c)=12/2+24=6+24=30 см. Все сходится с условием.