ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 88: Перпендикулярные прямые

План доказательства.

Чтобы доказать, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой, нужно показать, что угол между этими биссектрисами равен 180^°. Для этого обозначим вертикальные углы и их биссектрисы, используя свойства смежных углов и определения биссектрисы.

Ход решения.

Пусть две прямые AB и CD пересекаются в точке O. Образуются четыре угла: ∠AOC, ∠COB, ∠BOD и ∠DOA. Углы ∠AOC и ∠BOD являются вертикальными. Пусть луч OM — биссектриса угла ∠AOC, а луч ON — биссектриса угла ∠BOD. Нам нужно доказать, что точки M, O и N лежат на одной прямой, то есть ∠MON=180^°.

Так как OM — биссектриса ∠AOC, то ∠AOM=1/2∠AOC. Аналогично, так как ON — биссектриса ∠BOD, то ∠BON=1/2∠BOD.

Рассмотрим угол ∠MON. Он состоит из трёх частей: ∠MOA, ∠AOB (развернутый угол? Нет, лучше рассмотреть через смежные). Давайте разложим ∠MON иначе. Заметим, что ∠MON=∠MOA+∠AOD+∠DON или ∠MON=∠MOB+∠BON. Воспользуемся тем, что A,O,B лежат на одной прямой, значит ∠AOB=180^°. Но нам удобнее использовать вертикальность.

Известно, что вертикальные углы равны: ∠AOC=∠BOD. Следовательно, их половины также равны: ∠AOM=∠BON.

Рассмотрим угол ∠AON. Так как C,O,D лежат на одной прямой, то ∠COD=180^°. Угол ∠AON можно представить как сумму ∠AOD+∠DON. Это сложно. Проще рассмотреть угол ∠MON как сумму ∠MOA+∠AOD+∠DON? Нет, лучи могут быть расположены по-разному.

Давайте посмотрим на угол ∠MOC и ∠NOD. Они равны половинам вертикальных углов. Рассмотрим угол ∠CON. Он является смежным с углом ∠COB? Нет.

Вернемся к определению развернутого угла. Докажем, что ∠MOA+∠AOD+∠DON=180^°? Не обязательно.

Самый простой путь: рассмотрим угол ∠MON. Он образован лучом OM и лучом ON. Заметим, что ∠MOA=1/2∠AOC. А ∠NOB=1/2∠BOD. Поскольку ∠AOC=∠BOD, то ∠MOA=∠NOB.

Теперь рассмотрим угол ∠AON. Он равен ∠AOB-∠NOB=180^°-∠NOB (так как A,O,B — прямая). Или проще: ∠AON=∠AOD+∠DON.

Давайте вычислим угол ∠MON как сумму ∠MOA+∠AON. Нет, это не очевидно.

Рассмотрим угол ∠MOC. Он равен 1/2∠AOC. Рассмотрим угол ∠CON. Так как C,O,D — прямая, то ∠CON=180^°-∠NOD. А ∠NOD=1/2∠BOD. Значит ∠CON=180^°-1/2∠BOD.

Тогда угол ∠MON=∠MOC+∠CON=1/2∠AOC+(180^°-1/2∠BOD).

Так как ∠AOC=∠BOD (вертикальные), то 1/2∠AOC-1/2∠BOD=0.

Следовательно, ∠MON=180^°.

Проверка и вывод.

Мы получили, что угол ∠MON равен 180^°. По определению, если угол между двумя лучами с общим началом равен 180^°, то эти лучи образуют одну прямую. Таким образом, биссектрисы OM и ON лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.