ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 89: Перпендикулярные прямые

План доказательства.

Обозначим биссектрису угла ABC как луч BM, а биссектрису угла CBD как луч BN. Нам дано, что BM⊥BN, то есть угол между ними равен 90^°. Углы ABC и CBD имеют общую сторону BC и лежат по разные стороны от неё (так как это смежные углы или просто два угла с общей вершиной и стороной, образующие развёрнутый угол при условии их суммы). Нужно доказать, что сумма углов ABC и CBD равна 180^°, что означает коллинеарность точек A,B,D.

Ход вычислений.

Так как BM — биссектриса угла ABC, то ∠MBC=1/2∠ABC.

Так как BN — биссектриса угла CBD, то ∠CBN=1/2∠CBD.

По условию задачи биссектрисы перпендикулярны, значит, угол MBN равен 90^°. Из чертежа видно, что угол MBN состоит из двух частей: ∠MBC и ∠CBN (луч BC лежит внутри угла MBN, так как он является общей стороной исходных углов).

Следовательно, справедливо равенство: ∠MBC+∠CBN=90^°.

Подставим выражения через полные углы: 1/2∠ABC+1/2∠CBD=90^°.

Умножим обе части уравнения на 2: ∠ABC+∠CBD=180^°.

Проверка и вывод.

Мы получили, что сумма углов ABC и CBD равна 180^°. Поскольку эти углы имеют общую вершину B и общую сторону BC, а другие их стороны (BA и BD) лежат по разные стороны от прямой BC, то углы ABC и CBD являются смежными. По определению смежных углов, если их сумма равна 180^°, то их внешние стороны составляют одну прямую линию. Таким образом, точки A,B и D лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.