ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 90: Перпендикулярные прямые

План доказательства.

Для того чтобы доказать, что прямые m и n не совпадают, воспользуемся методом от противного. Предположим обратное: пусть прямые m и n совпадают. Это означает, что через точку A проходит одна и та же прямая, которая одновременно перпендикулярна прямой a и прямой b. Мы покажем, что такое предположение приводит к противоречию с известным свойством пересекающихся прямых.

Ход рассуждений.

1. По условию задачи прямые a и b пересекаются. Пусть точка их пересечения обозначена как O. Значит, прямые a и b различны и имеют общий угол между собой (не равный 0^° или 180^°).

2. Допустим, что прямые m и n совпадают. Обозначим эту общую прямую за l. Тогда по условию l⊥a и l⊥b.

3. Вспомним теорему о единственности перпендикуляра: через данную точку можно провести единственный перпендикуляр к данной прямой. Однако здесь важно другое свойство: если две различные прямые (a и b) перпендикулярны одной и той же третьей прямой (l), то эти две первые прямые должны быть параллельны друг другу (a∥b).

4. Действительно, рассмотрим углы, которые образует прямая l с прямыми a и b. Поскольку l⊥a, угол между ними равен 90^°. Поскольку l⊥b, угол между ними также равен 90^°. Если бы a и b были различными прямыми, пересекающими l, то они образовывали бы с l соответственные или накрест лежащие углы, равные 90^°, что влечет за собой параллельность a и b.

5. Но по условию задачи прямые a и b пересекаются . Прямые не могут быть одновременно параллельными и пересекающимися. Следовательно, наше предположение о том, что m и n совпадают, неверно.

Проверка и вывод.

Таким образом, допущение совпадения прямых m и n привело к противоречию с условием пересечения прямых a и b. Значит, прямые m и n действительно различны и не совпадают. Что и требовалось доказать.