7–9 классы Векторы

ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 948: Векторы

Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

Вера Лапина, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 947 949 →

Условие

Докажите, что для любых двух неколлинеарных векторов x и y справедливо неравенство |x + y|

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План доказательства

Для доказательства неравенства треугольника в векторной форме |x+y|<|x|+|y| для неколлинеарных векторов, удобно использовать метод возведения обеих частей в квадрат. Поскольку модули векторов — это неотрицательные числа, сравнение их квадратов эквивалентно сравнению самих чисел. Нам нужно показать, что квадрат левой части строго меньше квадрата правой части.

Вычисление и преобразования

Рассмотрим разность квадратов правой и левой частей неравенства:

(|x|+|y|)²-|x+y|²

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения (a²=|a|²):

(|x|²+2|x||y|+|y|²)-(x+y)² =|x|²+2|x||y|+|y|²-(x²+2x·y+y²) =|x|²+2|x||y|+|y|²-|x|²-2x·y-|y|²Сокращаем одинаковые слагаемые |x|² и |y|²:=2|x||y|-2x·y=2(|x||y|-x·y)Вспомним определение скалярного произведения: x·y=|x||y|cosα, где α — угол между векторами. Подставим это выражение:=2(|x||y|-|x||y|cosα)=2|x||y|(1-cosα) Проверка условий и вывод По условию задачи векторы x и y являются неколлинеарными . Это означает, что угол α между ними не равен 0^° и не равен 180^°. Следовательно, cosα≠1.Так как модули ненулевых векторов положительны (|x|>0,|y|>0), а при α≠0 имеем cosα Значит, вся разность2|\vec{x}||\vec{y}|(1 - \cos\alpha) > 0. Отсюда следует, что(|\vec{x}| + |\vec{y}|)^2 > |\vec{x} + \vec{y}|^2, а значит, и само неравенство|\vec{x} + \vec{y}|

Ответ

Доказано через анализ разности квадратов модулей.

Ключевым моментом является переход к квадратам и использование формулы скалярного произведения. Строгое неравенство достигается именно за счет условия неколлинеарности (угол не 0 градусов).

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 948 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 948?

Краткий ответ: Доказано через анализ разности квадратов модулей.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Векторы.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.