ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 950: Векторы
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Никита Ершов, методист по геометрии Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Сторона равностороннего треугольника ABC равна a. Найдите длины векторов
| а) | AB + BC | |
|---|---|---|
| б) | AB + AC | |
| в) | AB + CB | |
| г) | BA - BC | |
| д) | AB - AC | . |
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Для нахождения длин векторных сумм и разностей воспользуемся правилами сложения и вычитания векторов. В равностороннем треугольнике ABC все стороны равны a, а углы между сторонами, исходящими из одной вершины, равны 60°. При вычитании двух векторов с общим началом результат — это вектор, соединяющий концы этих векторов (от конца вычитаемого к концу уменьшаемого). При сложении можно использовать правило треугольника или параллелограмма.
Вычисления по пунктам.
| а) Найдем | \vec{AB} + \vec{BC} | . По правилу треугольника сумма векторов AB и BC равна вектору AC: |
|---|---|---|
| AB+BC=AC | ||
| Длина этого вектора равна длине стороны треугольника: |AC|=a. |
| б) Найдем | \vec{AB} + \vec{AC} | . Сложим два вектора, исходящие из точки A. Дополним их до параллелограмма ABDC. Диагональ AD соответствует сумме AB+AC. Так как треугольник ABC равносторонний, то угол BAC=60°. В параллелограмме со сторонами a и углом 60° большая диагональ находится по теореме косинусов для треугольника ABD (где угол ABD=120°, так как соседние углы параллелограмма в сумме дают 180°, но проще рассмотреть треугольник ADC, где CD=a, AC=a, угол ACD=120°): |
|---|---|---|
| AD2=AC2+CD2-2·AC·CD·cos(120°) | ||
| AD2=a2+a2-2a2·(-0.5)=3a2 | ||
| AD=a3 | ||
| Таким образом, |AB+AC|=a3. |
| в) Найдем | \vec{AB} + \vec{CB} | . Заметим, что CB=-BC. Тогда выражение принимает вид AB-BC. Это не совсем стандартная форма. Лучше перегруппировать: AB+CB=AB-BC. Воспользуемся координатным методом или геометрической интерпретацией. Рассмотрим сумму BA+BC? Нет, у нас AB. |
|---|---|---|
| Давайте перепишем через общий конец или начало. AB+CB. Перенесем вектор CB так, чтобы его начало совпало с концом AB (точка B). Вектор CB равен вектору DA, если достроить параллелограмм? Проще: AB+CB=AB-BC. | ||
| Рассмотрим векторную разность AB-BC. Это не дает простой геометрической фигуры сразу. | ||
| Попробуем другой подход: AB+CB. Вынесем минус: AB-BC. | ||
| Давайте найдем квадрат длины: |AB-BC|2=|AB|2+|BC|2-2AB·BC. | ||
| Угол между векторами AB и BC? Если приложить их к одному началу, то угол между BA и BC равен 60°. Значит, угол между AB и BC равен 180°-60°=120°. | ||
| Тогда скалярное произведение AB·BC=a·a·cos(120°)=-0.5a2. | ||
| Подставим в формулу квадрата длины суммы (так как мы ищем длину вектора S=AB+CB, а CB=-BC, то S=AB-BC): | ||
| |S|2=a2+a2-2(-0.5a2)=2a2+a2=3a2 | ||
| |S|=a3 |
| г) Найдем | \vec{BA} - \vec{BC} | . Разность двух векторов с общим началом B равна вектору, соединяющему их концы от конца вычитаемого (C) к концу уменьшаемого (A), то есть CA. |
|---|---|---|
| BA-BC=CA | ||
| Длина вектора CA равна стороне треугольника a. Следовательно, ответ a. |
| д) Найдем | \vec{AB} - \vec{AC} | . Аналогично предыдущему пункту, разность векторов с общим началом A равна вектору CB (от конца C к концу B). |
|---|---|---|
| AB-AC=CB | ||
| Длина вектора CB равна стороне треугольника a. Следовательно, ответ a. |
Проверка.
Все полученные результаты согласуются с геометрическими свойствами равностороннего треугольника. Длины сторон равны a, длина большей диагонали ромба с углом 60° равна a3. Пункты г) и д) сводятся к нахождению третьей стороны треугольника, образованного двумя данными векторами, что также равно a.
а) a
б) a\sqrt{3}
в) a\sqrt{3}
г) a
д) a
В пункте в) важно аккуратно определить угол между векторами при использовании скалярного произведения или правильно применить правило треугольника/параллелограмма. Векторы AB и CB имеют разные направления относительно вершин, поэтому прямой геометрической интуиции 'треугольник' может быть недостаточно без перестройки. Расчет через скалярное произведение подтверждает результат a√3.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 950 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 950?
Краткий ответ: а) a б) a√3 в) a√3 г) a д) a.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Векторы.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.