ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 953: Первый признак равенства треугольников
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Надежда Фомина, методист по геометрии Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Даны произвольные точки X, Y и Z. Требуется доказать, что векторы p=XY+ZX+YZ, q=(XY-XZ)+YZ и r=(ZY-XY)-ZX являются нулевыми.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Для доказательства того, что векторы p, q и r являются нулевыми, необходимо упростить данные выражения, используя правила сложения и вычитания векторов. Ключевым инструментом здесь является правило треугольника (или многоугольника) для векторов: сумма последовательных векторов, где конец предыдущего совпадает с началом следующего, равна вектору от начала первого до конца последнего. Также будем использовать свойство противоположных векторов: AB=-BA.
Вычисление и преобразование.
Рассмотрим каждый вектор по отдельности.
1. Вектор p=XY+ZX+YZ. Переставим слагаемые в удобном порядке, чтобы увидеть цепочку: p=ZX+XY+YZ Сгруппируем первые два вектора. По правилу треугольника ZX+XY=ZY. Теперь подставим это в выражение: p=ZY+YZ Так как YZ=-ZY, то их сумма равна нулевому вектору: p=0
2. Вектор q=(XY-XZ)+YZ. Раскроем скобки внутри первой части. Разность векторов XY-XZ можно представить как сумму XY+ZX (так как -XZ=ZX). Или проще: воспользуемся определением разности векторов. Вектор XY-XZ равен вектору ZY (вектор, соединяющий концы вычитаемого и уменьшаемого, направленный от конца вычитаемого к концу уменьшаемого, если они имеют общее начало). Проверим это алгебраически: XY-XZ=XY+ZX=ZX+XY=ZY Подставим результат в исходное выражение для q: q=ZY+YZ Опять же, ZY и YZ — противоположные векторы, поэтому: q=0
3. Вектор r=(ZY-XY)-ZX. Преобразуем разности в суммы с противоположными векторами: ZY-XY=ZY+YX. По правилу треугольника ZY+YX=ZX. Теперь подставим это в выражение для r: r=ZX-ZX Разность одинаковых векторов равна нулю: r=0
Проверка.
Мы показали, что после применения основных свойств векторной алгебры (коммутативность сложения, замена вычитания на сложение противоположного вектора, правило треугольника) каждое из выражений сводится к сумме вектора и ему противоположного или разности одинаковых векторов. Во всех случаях результат строго равен нулевому вектору 0. Утверждение доказано.
а) p=0
б) q=0
в) r=0
Задача тренирует навыки работы с векторными суммами и разностями. Важно помнить, что порядок слагаемых не важен, а вычитание вектора эквивалентно сложению с противоположным ему вектором.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 953 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 953?
Краткий ответ: а) p = 0 б) q = 0 в) r = 0.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 1. Первый признак равенства треугольников.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.