ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 960: Первый признак равенства треугольников
Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Анна Соколова, методист по геометрии Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Дан параллелограмм ABCD и произвольная точка X. Необходимо доказать равенство векторов XA+XC=XB+XD.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Для доказательства равенства векторов XA+XC=XB+XD воспользуемся правилом треугольника (или многоугольника) для сложения векторов. Мы выразим каждый вектор из точки X через разность радиус-векторов вершин параллелограмма или просто перепишем сумму, используя промежуточные точки. Ключевым свойством параллелограмма является то, что противоположные стороны равны и параллельны, а значит, соответствующие им векторы равны: AB=DC и AD=BC. Также полезно помнить, что диагонали параллелограмма делятся пополам в точке пересечения O, но здесь удобнее использовать алгебраическое выражение векторов.
Вычисление и доказательство.
Рассмотрим левую часть равенства: XA+XC. По правилу вычитания векторов любой вектор XY можно представить как разность OY-OX, где O — начало координат или любая фиксированная точка. Однако более простой школьный способ — использовать цепочку точек. Запишем вектор XA как XB+BA. Запишем вектор XC как XD+DC. Тогда сумма слева: XA+XC=(XB+BA)+(XD+DC) Сгруппируем слагаемые: XA+XC=XB+XD+(BA+DC) Вспомним свойства параллелограмма ABCD. Вектор BA направлен от B к A, а вектор DC направлен от D к C. Так как ABCD — параллелограмм, то сторона AB параллельна и равна стороне DC. При этом направление вектора AB совпадает с направлением DC, следовательно, вектор BA (противоположный AB) будет равен вектору CD (противоположному DC)? Нет, давайте аккуратнее. В параллелограмме AB=DC. Значит, BA=-AB=-DC=CD. Подставим это в скобки: BA+DC=CD+DC. Так как CD=-DC, то их сумма равна нулевому вектору 0. Или проще: BA+DC. Поскольку AB=DC, то BA=-DC. Следовательно, BA+DC=-DC+DC=0. Таким образом, мы получаем: XA+XC=XB+XD+0=XB+XD Что и требовалось доказать.
Проверка.
Альтернативный способ проверки через середину диагоналей. Пусть O — центр параллелограмма (точка пересечения диагоналей). Тогда XA=XO+OA и XC=XO+OC. Сумма: 2XO+(OA+OC). Так как O — середина AC, то OA=-OC, поэтому OA+OC=0. Итого слева: 2XO. Аналогично справа: XB=XO+OB и XD=XO+OD. Сумма: 2XO+(OB+OD). Так как O — середина BD, то OB=-OD, поэтому OB+OD=0. Итого справа: 2XO. Обе части равны 2XO, равенство верно.
Доказано: XA+XC=XB+XD
Использованы два метода: через разложение по сторонам параллелограмма и через центр симметрии (диагонали). Второй метод часто интуитивно понятнее ученикам.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 960 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 960?
Краткий ответ: Доказано: XA + XC = XB + XD.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 1. Первый признак равенства треугольников.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.