ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 967: Векторы

План решения. Нам дан вектор p=3a, где a≠0. Из этого равенства можно выразить исходный вектор a через p: a=1/3p. Это ключевое соотношение позволит нам определить направление и длину любого вектора вида ka, подставив выражение для a. Направление вектора определяется знаком коэффициента при p: если коэффициент положительный, векторы сонаправлены; если отрицательный — противоположно направлены. Длина вектора равна модулю этого коэффициента, умноженному на длину |p|. Вычисление для каждого вектора. Вектор a: Подставляем: a=1/3p. Коэффициент 1/3>0, значит, вектор a сонаправлен с p. Его длина: |a|=|1/3||p|=1/3|p|. Вектор -a: Используем найденное выражение: -a=-(1/3p)=-1/3p. Коэффициент -1/3 противоположно вектору\vec{p}. Его длина:|-\vec{a}| = \left| -\frac{1}{3} \right| |\vec{p}| = \frac{1}{3}|\vec{p}|. Вектор\frac{1}{2}\vec{a}: Подставляем:\frac{1}{2}\vec{a} = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1}{3}\vec{p} \right) = \frac{1}{6}\vec{p}. Коэффициент\frac{1}{6} > 0, значит, вектор сонаправлен с\vec{p}. Его длина:\lvert \frac{1}{2}\vec{a} \rvert = \frac{1}{6}\lvert \vec{p}\rvert . Вектор-2\vec{a}: Подставляем:-2\vec{a} = -2 \cdot \left( \frac{1}{3}\vec{p} \right) = -\frac{2}{3}\vec{p}. Коэффициент-\frac{2}{3} противоположно вектору p. Его длина: |-2a|=|-2/3||p|=2/3|p|. Вектор 6a: Подставляем: 6a=6·(1/3p)=2p. Коэффициент 2>0, значит, вектор сонаправлен с p. Его длина: |6a|=2|p|. Проверка. Убедимся в логичности результатов. Вектор p в 3 раза длиннее a и имеет то же направление (так как 3>0). Следовательно, a должен быть короче p в 3 раза (1/3|p|), что верно. Вектор -a должен иметь ту же длину, что и a, но обратное направление относительно p, так как он противоположен a, а a сонаправлен с p. Это также подтверждается расчетом. Все остальные векторы получены линейным масштабированием, поэтому их направления и длины корректно связаны с p через коэффициент пропорциональности.