7–9 классы Первый признак равенства треугольников § 1. Первый признак равенства треугольников

ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 961: Первый признак равенства треугольников

Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

Ольга Кузнецова, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 960 962 →

Условие

Нужно доказать неравенство |x - y|

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План доказательства: Для доказательства неравенства |x-y|≤|x|+|y| воспользуемся методом возведения обеих частей в квадрат. Поскольку модули векторов — неотрицательные числа, это преобразование равносильно исходному неравенству. Также нам потребуется вспомнить свойства скалярного произведения и его связь с косинусом угла между векторами. Ход вычислений: 1. Возведём левую часть неравенства в квадрат, используя формулу квадрата разности векторов: |x-y|²=(x-y)²=x²-2x·y+y²=|x|²-2x·y+|y|²

2. Возведём правую часть неравенства в квадрат: (|x|+|y|)²=|x|²+2|x||y|+|y|²

3. Сравним полученные выражения. Нам нужно доказать, что: |x|²-2x·y+|y|²≤|x|²+2|x||y|+|y|² Вычтем из обеих частей |x|²+|y|², получим эквивалентное неравенство: -2x·y≤2|x||y| Разделим на 2 и умножим на -1 (при этом знак неравенства меняется на противоположный): x·y≥-|x||y|

4. Вспомним определение скалярного произведения: x·y=|x||y|cosα, где α — угол между векторами. Подставим это в неравенство: |x||y|cosα≥-|x||y| Так как |x|≥0 и |y|≥0, а для ненулевых векторов их произведение положительно, сократим на |x||y|: cosα≥-1 Это утверждение верно для любого угла α, так как область значений функции косинуса — отрезок [-1;1]. Следовательно, исходное неравенство доказано.

Анализ случая равенства:

Равенство

\vec{x} - \vec{y}	=
\vec{x}	+
\vec{y}

выполняется тогда и только тогда, когда все наши предыдущие преобразования были равносильными и финальное условие превращается в равенство.

Из шага 4 видно, что равенство достигается при cosα=-1.

Значение cosα=-1 соответствует углу α=180^°.

Это означает, что векторы x и y направлены в противоположные стороны (коллинеарны и сонаправлены с противоположными знаками).

Если хотя бы один из векторов нулевой (x=0 или y=0), то обе части равенства равны модулю другого вектора, и равенство также выполняется.

Ответ

Доказательство проведено через возведение в квадрат и использование свойства cosα≥-1.Равенство |x-y|=|x|+|y| справедливо, если векторы x и y коллинеарны и направлены в противоположные стороны (x↑↓y), либо если хотя бы один из них является нулевым вектором.

В решении использован алгебраический метод через скалярное произведение, который является стандартным для курса геометрии 9 класса при работе с векторами. Важно подчеркнуть, что переход к неравенству для косинуса обосновывает истинность утверждения для любых векторов.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 961 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 961?

Краткий ответ: Доказательство проведено через возведение в квадрат и использование свойства -1. Равенство | x - y| = | x| + | y| справедливо, если векторы x и y коллинеарны и направлены в противоположные стороны ( x y), либо если хотя бы один из них является нулевым вектором.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 1. Первый признак равенства треугольников.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.