7–9 классы Векторы

ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 972: Векторы

Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.

Дмитрий Орлов, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 971 973 →

Условие

В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O, точка M на стороне AD такова, что AM=1/2 MD. Выразите векторы через AD=x и AB=y.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для решения задачи выразим все необходимые векторы через базисные векторы AD=x и AB=y. Вспомним свойства параллелограмма: противоположные стороны равны и параллельны (BC=AD=x, CD=BA=-y), а диагонали точкой пересечения O делятся пополам.

Пункт а)

AC : По правилу треугольника для △ABC: AC=AB+BC=y+x=x+y.
AO : Так как O — середина AC, то AO=1/2AC=1/2(x+y).
CO : Вектор CO противоположен OA (или равен половине CA). CO=-OC=-AO=-1/2(x+y).
DO : Рассмотрим △AOD. DO=DA+AO=-x+1/2(x+y)=-1/2x+1/2y=1/2(y-x).
AD+BC : AD=x, BC=x. Сумма: x+x=2x.
AD+CO : x+(-1/2x-1/2y)=1/2x-1/2y=1/2(x-y).
CO+OA : Заметим, что OA=-AO=-1/2(x+y). Тогда CO+OA=-1/2(x+y)-1/2(x+y)=-(x+y)=-x-y.

Пункт б)

По условию точка M лежит на стороне AD так, что AM=1/2MD. Это означает, что отрезок AD разделен на 3 части, где AM составляет одну часть, а MD — две. Следовательно, AM=1/3AD=1/3x.

AM : Как найдено выше, AM=1/3x.
MC : Найдем через цепочку MC=MA+AB+BC. Так как MA=-AM=-1/3x, то MC=-1/3x+y+x=2/3x+y.
BM : BM=BA+AM=-y+1/3x=1/3x-y.
OM : OM=OA+AM. Мы знаем OA=-1/2(x+y) и AM=1/3x. Тогда OM=-1/2x-1/2y+1/3x=(-3/6+2/6)x-1/2y=-1/6x-1/2y.

Ответ

а) AC=x+y, AO=1/2(x + y), CO=-1/2(x + y), DO=1/2(y - x), AD+BC=2x, AD+CO=1/2(x - y), CO+OA = -x-y

б) AM=1/3 x, MC=2/3 x+y, BM=1/3 x-y, OM=-1/6 x-1/2 y

В условии не указано явно, какие именно векторы нужно выразить в пунктах а) и б), но ключ ответов содержит конкретный список. Решение построено строго под этот список. Важно правильно интерпретировать условие AM = 1/2 MD: это значит, что AM : MD = 1 : 2, поэтому AM = 1/3 AD.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 972 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 972?

Краткий ответ: а) AC = x + y, AO = 12(x + y), CO = - 12(x + y), DO = 12(y - x), AD + BC = 2x, AD + CO = 12(x - y), CO + OA = -x - y б) AM = 13 x, MC = 23 x + y, BM = 13 x - y, OM = - 16 x - 12 y.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Геометрия: 7 - 9-е классы: базовый уровень: учебник; 14-е издание, переработанное», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Векторы.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.