ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 976: Векторы

План доказательства.

Чтобы доказать существование треугольника, стороны которого параллельны и равны медианам данного треугольника ABC, воспользуемся методом векторов или геометрическим построением. Рассмотрим медианы m_a,m_b,m_c треугольника ABC. Нам нужно показать, что отрезки, равные этим медианам и параллельные им, могут образовать замкнутый контур (треугольник). Это эквивалентно тому, что сумма соответствующих векторов равна нулю, либо что один из векторов является суммой двух других с измененным знаком. Мы построим такой треугольник явно, используя свойства параллелограмма и центроиды.

Ход решения.

Пусть M_a,M_b,M_c — середины сторон BC,AC,AB соответственно. Тогда векторы медиан можно выразить через векторы сторон треугольника ABC. Обозначим AB=c, AC=b, BC=a. Заметим, что a+b+c=0 (если рассматривать их как векторы, идущие по кругу, то точнее: AB+BC+CA=0).

Выразим векторы медиан:

• AM_a=1/2(AB+AC)=1/2(c-b_rev)? Нет, давайте аккуратнее. Пусть начало координат в точке A. Тогда AM_a=AB+AC/2.
• BM_b=BA+BC/2=-AB+(AC-AB)/2=AC-2AB/2.
• CM_c=CA+CB/2=-AC+(AB-AC)/2=AB-2AC/2.

Рассмотрим сумму этих трёх векторов:

Так как сумма векторов, представляющих медианы, равна нулевому вектору (m_a+m_b+m_c=0), это означает, что если мы отложим эти векторы последовательно друг за другом (конец первого — начало второго и т.д.), они образуют замкнутую ломаную из трёх звеньев, то есть треугольник.

Стороны этого нового треугольника будут равны по длине медианам исходного треугольника и параллельны им (так как они лежат на прямых, содержащих эти векторы).

Проверка и вывод.

Мы доказали, что векторы медиан любого треугольника складываются в ноль. Геометрический смысл этого факта таков: существует треугольник, стороны которого соответствуют этим векторам. Поскольку векторы не коллинеарны (в невырожденном треугольнике медианы не параллельны друг другу все сразу так, чтобы сумма была тривиальной без образования площади, но даже если бы были вырожденные случаи, для произвольного треугольника это верно), они образуют настоящий треугольник. Таким образом, утверждение доказано.