ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 974: Векторы

План решения.

Для выражения медиан через стороны треугольника воспользуемся правилом сложения векторов и свойством медианы как отрезка, соединяющего вершину с серединой противоположной стороны. Обозначим заданные векторы: a=AC и b=AB. Нам нужно найти AA₁, BB₁ и CC₁.

Вычисление.

1. Вектор AA₁: Точка A₁ — середина стороны BC. По правилу параллелограмма (или формуле для медианы) вектор медианы, выходящей из вершины A, равен половине суммы векторов сторон, прилежащих к этой вершине. AA₁=1/2(AB+AC) Подставляем наши обозначения: AA₁=1/2(b+a)=1/2(a+b)
2. Вектор BB₁: Точка B₁ — середина стороны AC. Выразим вектор BB₁ через цепочку векторов: BB₁=BA+AB₁. Так как BA=-AB=-b, а B₁ — середина AC, то AB₁=1/2AC=1/2a. Следовательно: BB₁=-b+1/2a=1/2a-b
3. Вектор CC₁: Точка C₁ — середина стороны AB. Аналогично предыдущему пункту: CC₁=CA+AC₁. Так как CA=-AC=-a, а C₁ — середина AB, то AC₁=1/2AB=1/2b. Следовательно: CC₁=-a+1/2b

Проверка.

Сумма трёх медиан, направленных от вершин к серединам противоположных сторон, должна равняться нулевому вектору, если рассматривать их как силы, приложенные в центре тяжести, или просто проверить алгебраически сумму выражений, полученных через координаты вершин. Однако более простая проверка: сумма векторов AA₁+BB₁+CC₁ не обязана быть нулем напрямую без учета направления, но мы можем проверить частный случай. Если треугольник вырожденный или симметричный, результаты должны сходиться. Формально, используя векторное определение медианы m_a=1/2(b+c), где b,c — векторы сторон из вершины, мы получили корректные выражения для всех трех случаев относительно выбранных базисных векторов a и b.