ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 977: Векторы

План решения.

Для доказательства существования треугольника со сторонами, равными и параллельными данным отрезкам, удобно использовать векторный метод. Нам нужно показать, что сумма трёх векторов A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂ (или их противоположных) равна нулевому вектору. Если это так, то эти векторы могут образовать замкнутый контур, то есть стороны треугольника.

Выражение векторов через стороны треугольника ABC.

Рассмотрим каждый из построенных параллелограммов и выразим соответствующие диагонали или стороны через векторы сторон исходного треугольника AB, BC, CA. Обозначим для краткости a=BC, b=CA, c=AB. Заметим, что a+b+c=0.

1. Параллелограмм ABB₁A₂ построен на стороне AB. По свойствам параллелограмма, AA₂=BB₁ и AB=A₂B₁. Однако нам нужен вектор A₁A₂. Посмотрим внимательнее на нумерацию вершин. Обычно в таких задачах параллелограммы строятся «наружу» или «внутрь», но ключевое свойство — равенство противоположных сторон.
   Давайте выразим векторы A₁A₂, B₁B₂, C₁C₂ через векторы сторон треугольника ABC, используя правило сложения векторов.
   В параллелограмме ACC₂A₁: AC=A₁C₂ и AA₁=CC₂. Тогда A₁A₂ можно найти как разность радиус-векторов или сумму цепочки. Проще всего выразить векторы A₁A₂, B₁B₂, C₁C₂ через основные векторы треугольника.
   Заметим, что A₁A₂=A₁A+AB+BB₂+B₂A₂? Нет, это сложно.
   Используем другой подход: выразим векторы A₁A₂, B₁B₂, C₁C₂ через векторы AB,BC,CA.
   Из параллелограмма ABB₁A₂: A₂B₁=AB. Также AA₂=BB₁.
   Из параллелограмма BCC₁B₂: B₂C₁=BC. Также BB₂=CC₁.
   Из параллелограмма ACC₂A₁: A₁C₂=AC. Также AA₁=CC₂.

Нам нужно доказать, что векторы u=A₁A₂, v=B₁B₂, w=C₁C₂ удовлетворяют условию u+v+w=0 (или с другими знаками).
Выразим A₁A₂: A₁A₂=A₁A+AB+BB₂+B₂A₂ Это не совсем верно, так как A₂ и B₂ лежат в разных параллелограммах.
Давайте выразим все точки через начало координат O или относительно одной вершины, например A. Но проще использовать векторные суммы по цепочке.

Рассмотрим вектор A₁A₂. В параллелограмме ACC₂A₁ имеем A₁A=-AA₁=-CC₂. В параллелограмме ABB₁A₂ имеем AA₂=BB₁. Тогда A₁A₂=A₁A+AA₂=BB₁-CC₂.

Аналогично для B₁B₂: В параллелограмме ABB₁A₂: BB₁=AA₂. В параллелограмме BCC₁B₂: BB₂=CC₁. Тогда B₁B₂=B₁B+BB₂=-BB₁+CC₁=CC₁-AA₂.

И для C₁C₂: В параллелограмме BCC₁B₂: CC₁=BB₂. В параллелограмме ACC₂A₁: CC₂=AA₁. Тогда C₁C₂=C₁C+CC₂=-CC₁+AA₁=AA₁-BB₂.

Сложим полученные выражения: A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂=(BB₁-CC₂)+(CC₁-AA₂)+(AA₁-BB₂) Группируем слагаемые: =(AA₁-CC₂)+(BB₁-AA₂)+(CC₁-BB₂) Вспомним свойства параллелограммов: 1) Из ACC₂A₁: AA₁=CC₂⇒AA₁-CC₂=0. 2) Из ABB₁A₂: BB₁=AA₂⇒BB₁-AA₂=0. 3) Из BCC₁B₂: CC₁=BB₂⇒CC₁-BB₂=0. Таким образом, сумма векторов равна нулю: A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂=0

Проверка и вывод.

Если сумма трёх ненулевых векторов равна нулевому вектору, то эти векторы могут быть сторонами некоторого треугольника (если они не коллинеарны). Поскольку параллелограммы построены на сторонах произвольного треугольника, векторы A₁A₂, B₁B₂, C₁C₂, как правило, не лежат на одной прямой. Следовательно, существует треугольник, стороны которого соответственно равны и параллельны этим отрезкам.