ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 978: Векторы

План решения.

Для доказательства утверждения о трапеции удобно использовать векторный метод. Обозначим основания трапеции как a и b. Пусть M и N — середины диагоналей AC и BD соответственно. Нам нужно выразить вектор MN через векторы оснований и показать, что он коллинеарен им (параллелен) и его длина равна полуразности длин оснований.

Вычисление.

Введём обозначения для вершин трапеции ABCD, где AD∥BC. Пусть AD=a и BC=b. Так как это трапеция, то векторы a и b сонаправлены или противоположно направлены в зависимости от ориентации, но их носители параллельны. Обычно в задачах на векторы рассматривают случай, когда основания лежат на параллельных прямых.

Рассмотрим путь из точки M в точку N через другие точки. Например, можно пройти по цепочке: M→A→B→N или M→D→C→N. Воспользуемся свойством середины отрезка. Если M — середина AC, то AM=1/2AC. Если N — середина BD, то BN=1/2BD.

Выразим вектор MN:

MN=MA+AB+BN

Заметим, что MA=-AM=-1/2AC. Также BN=1/2BD.

Представим диагонали через стороны трапеции. Пусть AB=c и DC=d. Тогда AC=AB+BC=c+b и BD=BA+AD=-c+a.

Подставим эти выражения в формулу для MN:

MN=-1/2(c+b)+c+1/2(-c+a) MN=-1/2c-1/2b+c-1/2c+1/2a

Сгруппируем слагаемые при c:

MN=(-1/2+1-1/2)c+1/2a-1/2b MN=0·c+1/2(a-b) MN=1/2(a-b)Так как a и b — векторы оснований трапеции, они параллельны друг другу. Следовательно, их разность a-b также параллельна этим векторам. Значит, вектор MN параллелен основаниям трапеции.Длина отрезка MN равна модулю вектора MN:|MN|=|1/2(a-b)|=1/2|a-b|Если основания направлены в одну сторону (как обычно принято в стандартной трапеции AD∥BC), то векторы a и b сонаправлены. Тогда модуль разности равен разности модулей (при условии |a|>|b|):|a-b|=|a|-|b|Обозначая длины оснований за a и b, получаем:MN=1/2(a-b)Это и есть полуразность оснований. Проверка. Результат согласуется с известным геометрическим фактом: средняя линия треугольника, образованного продолжением боковых сторон до пересечения, связана с основанием. Векторное доказательство подтверждает, что направление вектора MN совпадает с направлением векторов оснований, а его величина зависит только от разности длин этих оснований, не завися от боковых сторон (c сократился). Утверждение доказано.