ГДЗ по геометрии, 7 класс, Атанасян, номер 979: Векторы

План решения.

Для доказательства того, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырёхугольника, делятся пополам в точке пересечения, удобно использовать метод векторов. Обозначим вершины произвольного четырёхугольника как A, B, C и D. Пусть M — середина стороны AB, N — середина стороны BC, P — середина стороны CD, а Q — середина стороны DA. Нам нужно рассмотреть два отрезка: MP (соединяющий середины противоположных сторон AB и CD) и NQ (соединяющий середины противоположных сторон BC и DA). Докажем, что эти отрезки являются диагоналями параллелограмма, который образуется при соединении середин всех четырёх сторон (MNPQ), или напрямую покажем равенство векторов, исходящих из точки пересечения к концам этих отрезков.

Вычисление и доказательство.

Введём обозначения для векторов сторон четырёхугольника. Пусть a=AB, b=BC, c=CD, d=DA. Так как это замкнутый контур, то сумма векторов равна нулю: a+b+c+d=0.

Найдём вектор MQ, соединяющий середины смежных сторон AB и AD. В треугольнике ABD вектор BD=BA+AD=-a-d. По теореме о средней линии треугольника (или через векторы): MQ=1/2BD. Аналогично, в треугольнике CBD вектор NP=1/2BD. Следовательно, MQ=NP.

Теперь найдём вектор MN, соединяющий середины смежных сторон AB и BC. В треугольнике ABC средняя линия MN параллельна основанию AC и равна его половине: MN=1/2AC. Аналогично, в треугольнике ADC средняя линия QP параллельна AC: QP=1/2AC. Значит, MN=QP.

Так как у четырёхугольника MNPQ противоположные стороны равны и параллельны (MQ=NP и MN=QP), то MNPQ является параллелограммом.

Отрезки MP и NQ являются диагоналями этого параллелограмма MNPQ. По свойству параллелограмма, его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Таким образом, отрезки, соединяющие середины противоположных сторон исходного четырёхугольника, делятся пополам в точке своего пересечения.

Проверка.

Рассмотрим частный случай — прямоугольник. Середины противоположных сторон образуют меньший прямоугольник (также параллелограмм). Его диагонали (которые совпадают с отрезками, соединяющими середины сторон большого прямоугольника) действительно пересекаются в центре симметрии и делятся пополам. Логика вывода через векторы не зависит от формы четырёхугольника (выпуклый он или нет), так как мы использовали только свойства сложения векторов и определения средней линии, что подтверждает общность доказательства.